( 1245 j 



>' En effet , d'après les théorèmes sur les arcs d'ellipses , déjà cités , l'arc mm' 

 est égal à n fois l'arc na\ plus une quantité algébrique, ce qui s'exprime 

 par l'équatioD 



Dm - Dm' = n[Da — Da') + L, 

 ou 



E(ç)-E(9') = n[E(«)-E(a')]+L. 



Or, à cette équation répond celle-ci: 



F {9j - F (>') = 71 [F (a) - F («')]■ Donc , etc. 



" Si l'ou prend l'origine du polygone, c'est-à-dire le point de contact de 

 son premier côté, au sommet D de l'ellipse, on aura 



? = o, 

 et simplement 



F(9')=«[F(a)- F («')]; 

 et si la fonction F(a') est nulle , 



F ((f)') = n. F (a). 



" 6. On voit que la multiplication des fonctions se fait sur la figure même 

 qui sert à déterminer deux fonctions dont la différence est donnée. Pour dé- 

 terminer ces deux fonctions, on circonscrit à l'ellipse interne un angle qui 

 ait son sommet sur l'ellipse externe ; et , pour déterminer deux fonctions dont 

 la différence soit égale à un multiple n de la différence de ces deux preniieres, 

 on circonscrit à la même ellipse n angles formant une portion de polygone 

 continue. Comme l'origine du polygone est arbitraire , la question a une infi- 

 nité de solutions. 



- C'est aussi au moyen d'une portion de polygone, circonscrit et inscrit 

 à deu.x cercles, que M. Jacobi a multiplié les fonctions. Mais la construction 

 de l'illustre géomètre satisfait seulement à l'équation 



F((p) = «F(a), 



parce qu'elle ne permet pas de placer l'origine du polygone en un point 

 quelconque du cercle. Nous donnerons à cette élégante construction toute 

 l'extension dont elle était susceptible. 



» 7. Les arcs d'Iiyperbole pourraient servir, de même que les arcs d'ellipse, 

 pour la solution des questions que nous venons de résoudre. Le module des 



i65.. 



