( 1262 ) 



et approfondie dounerait sans doute à ces théorèmes une forme et une 

 élégance nouvelles. 



" Sur une surface quelconque, la ligue géodésique jouit de celte pro- 

 priété, que son rayon de courbure est en chaque point normal à la surface. 

 De là une équation différentielle du second ordre , dont M. Jacobi a le premier 

 trouvé l'intégrale avec deux constantes arbitraires, pour le cas de l'ellipsoide 

 à trois axes. En cherchant à vérifier la formule remarquable qu'il a donnée , 

 et dans laquelle figurent, comme je l'ai dit, des fonctions abéliennes, j'ai 

 d'abord obtenu une intégrale première , d'où l'intégrale seconde se déduit 

 immédiatement, et qui me paraît assez simple pour cju'ou puisse espérer d'y 

 parvenir par une méthode purement géométrique. Je prends la liberté de re- 

 commander cette recherche au talent de M. Chasles, si éprouvé dans ces 

 matières. Voici l'équation qu'il s'agirait d'établir. Soit AMB une ligne géo- 

 désique tracée à volonté sur l'ellipsoïde. Parle point quelconque M, faisons 

 passer les hyperboloïdes à une nappe et à deux nappes, dont les sections 

 principales sont homofocales à celles de rdlipsoide. Soient p.-, \r les carrés 

 de leurs demi-axes dirigés suivant le grand axe de l'ellipsoïde; on aura 



[i? cos^ / H- V - sin- / := constante , 



/ désignant l'angle que la tangente à la ligne géodésique fait avec la normale 

 au second hyperboloïde (i). 



" Puisqu'il vient d'être question de fonctions elliptiques, je profiterai de 

 l'occasion pour donner l'énoncé d'un principe général qui me paraît impri- 

 mer à l'étude de ces fonctions un caractère d'unité et de simplicité tout parti- 

 culier. Soient z une variable quelconque, réelle ou imaginaire, et ij;(z)une 

 fonction de z bien déterminée, je veux dire une fonction qui, pour chaque 

 valeur x -^ y \ — i des, prenne une valeur unique toujours la même, 

 lorsque x e\. j redeviennent les mêmes. Si une telle fonction est doublement 

 périodique, et si l'on reconnaît qu'elle n'est jamais infinie, on pourra affir- 

 mer par cela seul qu'elle se réduit à une simple constante. 



" Ce principe (qui conduit du reste à des conséquences nombreuses et 

 utiles dans d'autres parties de l'analyse) m'a fourni sans difficulté les théo- 

 rèmes connus relatifs, soit à la multiplication et à la transformation des fonctions 

 elliptiques, soit à leurs développements en sérii\ .l'en ai tiré aussi unedémons- 



(i) Dans le Journal de M. d'elle, M. Juucliinjsllial a obtenu un résullul lout aussi simple 

 que celui-là, mais de forme différente. 



