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l'un de l'autre. Le nouveau principe, ou théorème indiqué par M. Liouville , 

 se trouve énoncé, à la page 1262, dans les termes suivants : 



" Soient z une variable quelconque , réelle ou imaginaire , et ti (z) une 

 " fonction de z bien déterminée, je veux dire une fonction qui , pour chaque 

 « valeur 07+^ y" — 1 dez, prenne une valeur unique toujours la même, 

 " lorsque x et y redeviennent les mêmes. Si une telle fonction est double- 

 >' ment périodique, et si l'on reconnaît qu'elle n'est jamais infinie, on povuM-a 

 » affirmer, par cela seul, qu'elle se réduit à une simple constante. " 



" En terminant ce paragraphe , j'observerai que j'ai déduit constauiment 

 les divers théorèmes précédemment rappelés, et les théorèmes analogues, 

 d'un principe fondamental, établi dans mes Mémoires de i8i4 et de 1822. 

 Comme je l'ai reconnu dans ces Mémoires, les différences entre les deux 

 valeurs d'une intégrale double, dans laquelle la fonction sous le signe /peut 

 s'intégier une première fois en termes finis par rapport à l'une quelconque 

 des deux variables que l'on considère, se trouve exprimée par une intégrale 

 définie singulière. Ce principe unique suffit pour montrer que, dans le 

 théorème relatif au développement des fonctions en séries, on pourrait, à la 

 rigueur, se passer de la considéi-ation des fonctions dérivées. Il en résulte 

 donc, conformément à l'observation judicieuse que M. Liouville me faisait 

 dernièrement à cet égard, qu'entre les deux énoncés de ce théorème, donnés 

 dans mon Mémoire de i83i et dans mes Exercices d'Analyse, il semblerait 

 convenable de choisir le premier. Toutefois , lorsqu'il s'agit du développe- 

 ment des fonctions en séries , la considération des fonctions dérivées me 

 paraît ne devoir pas être entièrement abandonnée, attendu que très-souvent, 

 comme je l'ai dit ailleurs, cette considération est précisément celle qui sert 

 à déterminer les modules des séries. 



I' Je remarquerai encore que les divers théorèmes rappelés au commen- 

 cement de ce paragraphe, et les théorèmes analogues énoncés dans mes 

 Exercices ou dans mes autres ouvrages, se tirent aisément les uns des au- 

 tres, eu sorte qu'on peut déduire avec facilité les théorèmes plus généraux , et 

 plus étendus en apparence, de ceux qui semblent l'être beaucoup moins. 

 C'est ce que j'ai fait voir, en particulier, dans mes Exercices de Mathéma- 

 tiques ( i" volume, pagegS), ainsi que dans mon Mémoire de i83i, sur 

 le calcul des limites. 



» Je remarquerai, enfin, qu'aux formules données dans mon Mémoire 

 de i8i4, pour la détermination des intégrales doubles et des intégrales défi- 

 nies singulières, il convient de joindre les formules plus générales que ren- 

 ferme le Mémoire présenté à l'Académie le 28 octobre 1822. 



