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j II. _ Usage des intégrales définies singulières dans la détermination des intégrales 



doubles. 



•< C'est dans le Mémoire In à l'Institut le aa août i8i4 que j'ai montré 

 la différence qui peut exister entre les denx valeurs qu'on obtient pour une 

 intégrale double, lorsqu'on effectue d'abord les intégrations dans un certain 

 oidre, et qu'ensuite on renverse l'ordre des intégrations. C'est encore dans 

 ce iVIénioire que j'ai reconnu la cause de cette différence, et que j'en ai 

 donné la mesure exacte, par le moyeu des intégrales définies singulières. 

 Plus tard, en 1822, je me suis occupé de nouveau du même sujet, qui fut 

 traité aussi, vers la même époque, par M. Ostrogradsky, dont les conclusions 

 s'accordèrent avec les miennes. Mes recherches sur cette matière ont été 

 consiguées, d'une part , dans le Mémoire déjà cité, d'autre part, dans le se- 

 cond Mémoire, qui a été présenté à l'Académie le 28 octobre 1822, comme 

 l'atteste la signature du secrétaire perpétuel , M. Georges Cuvier. Le Bulletin 

 de la Société philomalique de 1822 (page 161) présente diverses formules 

 tirées de ce second Mémoire; je me propose d'en extraire prochainement 

 quel(|ues autres du cahier manuscrit qui renferme le texte original et 

 rjuc j'ai retrouvé dernièrement. Je me borneiai , pour l'instant, à rappeler 

 qu'à l'aide des principes énoncés dans le Bulletin de la Société philomatique, 

 j'avais décomposé généralement en intégrales définies singidières la différence 

 A — B des intégrales iloubles 



A = £ £ fx, j) doc t!j, B =£ p fix, j) djda-, 



et que j'avais ensuite spécialement appliqué mes formules, d'abord au cas où 

 l'on suppose la fonction/(j:-, j) inlégrable en termes finis , par rapport à cha- 

 cune des variables x,j, en sorte qu'on ait simultanément 



j\x,y) = D,. ij. ( X, j) = 0;, X i^^D' 



puis au cas plus restreint où l'on suppose 



^ (a:, j) =y(X + Y v^^ ) n., (X -H Y v'^^) , 

 et 



X(-^>j)=y(X+Y v~) D,(X +Yv/- i), 



X et Y désignant deux fonctions quelconques de x et de^". 



