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§ III. — Conséquences diverses des propositions fondamentales du calcul des résidus. 



» Les propositions fondameiilnles du calcul des résidus, que )'ai rappelées 

 dans le § 1'^'' , entraînent avec elles , comme conséquences , divers autres 

 théorèmes qui se trouvent déjà, en partie, énoncés dans les Exercices de Ma- 

 thématiques , et que je vais indiquer en peu de mots. 



n D'abord, du 3" théorème du §P'' on peut immédiatement déduire une 

 proposition énoncée à la page 279 du second volume des Exercices , dans 

 les termes suivants : 



» I*'' Théorème. Si, en attribuant au module r de la variabir 

 z = r(cosp -h \J— I s'mp), 



des valeurs infiniment grandes, on peut les choisir de manière que la fonction 

 y"(z) devienne sensiblement égale à zéro , quel que soit d'ailleurs l'angle p , ou 

 du moins de manière que cette fonction reste toujours finie ou infiniment pe- 

 tite, et ne cesse d'être infiniment petite, en demeurant finie, que dans le voi- 

 sinage de certaines valeurs particulières de l'angle^, on aura 



(■) /(-)=cî:^, 



pourvu que, dans le second membre de l'équation (i), on réduise le résidu 

 intégral 



film 



x—z 



à sa valeur principale. 



1) On ne doit pas oublier qu'en vertu de la condition énoncée à la page 98 

 du I*'' volume des Exercices, la fonction f(z) doit conserver, pour chaque 

 valeur finie de z, une valeur unique et déterminée. Donc, si cette fonction 

 ne devient jamais infinie, elle sera ce que nous appelons une fonction con- 

 tinue de z. Mais alors, l'équation 



I 

 n'ayant plus de racines, le résidu intégral 



