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^■^> (x—a) [x—b) . . . ix—k) '^ \{!—a) (z— 6) • ■ • (z— *)J ^ — ^ 



Comme on le voit, cette deinièie formule, déjà présentée aux géomètres 

 dans le i" volume des Exercices [[^a^e i'i'\, n'est pas seulement applicable 

 au cas spécial que j'ai considéré \ibidein\ , c'est-à-dire au cas où f{x) repré- 

 sente une fonction entière de x. Mais, d'après les principes du calcul des ré- 

 sidus exposés dans le second volume des Exercices , ou , ce qui revient au 

 même , en vertu du i" théorème , il suffit , pour la vérification de la formule 

 (4), que, la fonction f{z) étant toujours finie et toujours continue pour des 



valeurs finies de z, le rapport -^ s'évanouisse avec -• D'ailleurs la formule 



(4) pouvant, comme j'en ai fait la remarque dans le i*'' volume des Exer- 

 cices, se réduire à la suivante 



(" /w= ;:iîi:::!::> )^-^ !:::j:::!::»! ./(*)- 



c'est-à-dire à la formule d'interpolation de Lagrange, fournit, en consé- 

 quence , pour valeur dey (x) , une fonction entière de x du degré m — i . On 

 peut donc encore énoncer la proposition suivante : 



» 4' Théorème. Si une fonction y(z) de la variable réelle ou imaginaire z 

 reste toujours finie et continue pour des valeurs finies de cette variable , et si 

 d'ailleurs le rapport 



dans lequel m désigne un nombre entier donné , s'évanouit pour toute valeur 

 infinie de z, alors y(z) ne pourra être qu'une fonction entière de z du degré 

 m — I. 



.' Corollaire. Si la fonction y (z), toujours continue, ne devient jamais in- 

 finie, même pour des valeurs infinies de z; on devra supposer évidemment 

 771= I. Donc alors /(z) ne pourra être qu'une fonction entière du degré zéro, 

 c'est-à-dire une constante, et l'on se trouvera immédiatement ramené au 

 3^ théorème. " 



