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 rèmes de géométrie. Aussi est-il arrivé plusieurs fuis que la considéiatiou des 

 tonctions de plusieurs variables a conduit les géomètres à des propriétés rc- 

 uiarquables des fonctions qui renferment une variable seulement. On peut 

 citer, comme exemples, la démonstration que Laplace a donnée de la série de 

 Lagrange, et les belles propositions, relatives aux nombres, que M. Jacobi 

 a déduites immédiatement de la théorie des fonctions ellipti(|ues. On conçoit 

 de même que les propriétés des séries simples doivent souvent se déduire 

 avec facilité des propriétés des séries multiples. Celte considération m'a en- 

 gagé à reprendre une étude dans laquelle je uie suis vu encouragé par l'as- 

 sentiment des géomètres, et à poursuivre, à l'égard des séries multiples, les 

 reL-herches auxquelles je me suis livré depuis vingt-quatre ans, pour établir 

 sur des bases solides la théorie des séries simples. J'examine particulièrement 

 (luelle idée ou doit se faire de la convergence des séries multiples, et quelles 

 sont les conditions de cette convergence. Parmi les résultats auxquels je par- 

 viens, les plus importants peuvent être faeilenisnt énoncés. Je vais les in- 

 diquer en quelques lignes. 



>. Ijes problèmes d'analyse, comme l'on sait, ont généralement pour but 

 lu recherche de certaines quantités dont il s'agit de fixer les valeurs, en les 

 déduisant des valeurs supposées connues d'autres quantités qui constituent ce 

 (|u'on appelle les données d'une question. Dans la langue algébrique, on re- 

 présente les quantités connues et inconnues par des lettres, et les valeurs des 

 inconnues sout censées déterminées , quand on a réduit leur détermination au 

 système de plusieurs opérations à effectuer sur les quantités connues. Le sys- 

 tème de lettres et de signes qui représente ces opérations est ce qu'où appelle 

 une formule. Il peut d'ailleurs arriver que l'on parvienne à déterminer une 

 inconnue ou d'un seul coup et à l'aide d'une seule opération , ou par pièces et 

 par morceaux, s'il est permis de s'exprimer ainsi, et à l'aide d'approxima- 

 tions successives. Dans le dernier cas , la valeur de l'inconnue se trouve ex- 

 primée par la somme d'une série simple ou multiple. Mais pour que la déter- 

 mination de cette inconnue ne devienne pas illusoire , il est bien entendu que 

 les approximations doivent être effectives, de sorte qu'après un certain nom- 

 i)re d'opérations, chaque approximation nouvelle fasse généralement con- 

 verger le résultat trouvé vers la valeur de l'inconnue, et rapproche le calcu- 

 lateur du but qu'il se propose d'atteindre. C'est alors que la série simple ou 

 multiple, propre à fournir des valeurs de plus en plus exactes de l'in- 

 connue , est appelée convergente ; et par ce peu de mots on peut juger de 

 rimportance que les géomètres ont d(i attacher à la convergence des séries. 



" J'ai prouvé, en 1821, dans mon Analjse algébrique, que la convergence 



