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 d'une série simple dépend stiitout d'une certaine quantité positive, ou, si 

 l'on veut, d'un certain module, que j'ai depuis appelé le module de la série. 

 En effet, une série simple est convergente ou divergente, suivant que son 

 module est inférieur ou supérieur à l'unité. A cette considération des mo- 

 dules des séries simples, je joins aujourd'hui la cousidéralion des séiies modu- 

 laires. J'appelle ainsi la série dont les termes se réduisent aux modules des 

 divers termes d'une série donnée simple ou multiple. 



" Cela posé, j'établis des théorèmes fondamentaux relatifs à des séries 

 quelconques; et je prouve, en jiarticulier, qu'une série simple ou nudtiple 

 est toujours convergente lorsque la série modulaire correspondante est con- 

 vergente elle-même. 



" Dans un prochain article, je développerai les conséquences des principes 

 exposés dans celui-ci, et je montrerai comment on peut ainsi revenir aux foi- 

 mules que j'ai données dans mes derniers Mémoires sur le développement 

 des fonctions en séries , ou même (i.\er les conditions précises sous lesquelles 

 subsistent ces formules, en prouvant que ces mêmes formules se vérifient 

 tant que les séries qu'elles renferment demeurent convergentes. " 



ANALYSE M.iTHÉMATiQUE. — Mémoire sw les fonctions complémentaires; 

 par M. Augustin Cauchy. 



" Considérons, avec une variable réelle ou imaginaire, une fonction qui 

 ne cesse d'être continue que pour certaines valeurs de la variable auxquelles 

 correspondent des résidus déterminés. Si, d'mWcurs, pour toute valeui- i/i- 

 Jinie de la variable, le produit de la variable par la fonction s'évanouit, le 

 résidu intégral de la fonction s'évanouira pareillement. 



" De ce principe fondamental du calcul des résidus, on déduit sans peine, 

 comme je l'ai déjà observé, les deux théorèmes suivants, dont le premier est 

 un cas particulier d'une proposition plus générale, énoncée dans le second 

 volume de mes Exercices de Mathématiques. 



" i" T'héorène. Si, pour toute valeur finie d'une variable réelle ou ima- 

 ginaire z, une fonction de z reste toujours continue, par conséquent toujours 

 finie; si d'ailleurs, pour toute valeur infinie de la variable 2, le produit de 

 cette variable par la fonction se réduit à une constante déterminée, la fonc- 

 tion elle-même se réduira simplement à cette constante. 



" 2" Théorème. Si une fonction d'une variable réelle ou imaginaire 2 reste 

 toujours continue , par conséquent toujours finie pour des valeurs finies de r, 



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