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 part, il est clair que le théorème dont il s'agit subsistera, comme la formule 

 elle-même, pour toute fonction continue de .r. Si Ton considère séparément 

 le cas où la fonction est doublement périodique , on retrouvera le théorème 

 spécial regardé avec raison par un de uos honorables confrères, comme parti- 

 culièrement applicable à la théorie des fonctions elliptiques. Il est d'ailleurs 

 évident que les résultats fournis par le théorème ne différeront pas des ré- 

 sultats qui ont été ou peuvent être fournis par l'application immédiate de la 

 formule. 



n Soit _/(x) une fonction de la variable x, qui ne cesse d'être continue 

 que pour certaines valeurs de x qui la rendent infinie, et auxquelles corres- 

 pondent des résidus déterminés. Supposons, d'ailleurs, que le système de 

 ces résidus, dans le cas où ils sont en nombre infini, forme une série conver- 

 gente , et prenons 



Alors la fonction w(a:) conservera généralement une valeur finie, pour 

 toutes les valeurs finies réelles ou imaginaires de la variable x. D'ailleurs, 

 cette fonction étant précisément celle qui, en vertu de la formule (i), ou 

 plutôt de la suivante, 



(.) /(^) = ^_^(/(z)) + ^(^.), 



doit être ajoutée au résidu intégral 



quand on veut compléter la valeur de la fonction donnée ^{x) , sera nom- 

 mée, pour ce motif, \a Jonction complémentaire. La considération de cette 

 fonction complémentaire fournit le moyen d'établir facilement diverses pro- 

 positions importantes relatives à la fonction _/(ar), comme je l'ai fait voir 

 dans le i" volume des Exercices de Mathématiques [pages gS et suivantes]. 

 " Considérons maintenant le cas particulier où le produit zj (z) s'évanouit 

 pour toute valeur infinie de z. Alors, comme je l'ai fait voir dans le i" vo- 

 lume des Exercices j le résidu intégral de la fonction y^(z) s'évanouira, en 



