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résultats de mes observations sur la détermination expérimentale de la ligne 

 primitive, et sur la formation de l'appareil circulatoire chez les Verté- 

 brés. " 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la Convergence des séries multiples ; par 



M. Augustin Cauchy. 

 Il Soit 



(i) u = i{x, j, z,...) 



une fonction des variables x , y, z, . . . qui , pour chaque système de va- 

 leurs entières, positives, nulles ou négatives attribuées à. x , j, z, . . ., ac- 

 quière une valeur unique et finie. Cette fonction u pourra être considérée 

 comme le terme général d'une série multiple dont chaque terme correspon- 

 drait à un système particulier de valeurs entières , positives , nulles ou né- 

 gatives de X. j-, 2. . . . 



1} Réciproquement, le terme général d'une série multiple pourra toujours 

 être représenté par une telle fonction àe x , y, z. . . . 



» Soit maintenant S une somme formée avec un grand nombre de termes 

 de la série multiple. Cette série sera dite convergente, si la somme S s'ap- 

 proche indéfiniment d'une limite unique et finie s , dans le cas où le nombre 

 des termes compris dans la somme àS' devient infiniment grand, et où les va- 

 leurs numériques de x , j,z,. . . qui correspondent aux termes exclus de 

 cette somme deviennent elles-mêmes infiniment grandes. Alors aussi la li- 

 mite s de la somme partielle 5 sera ce qu'on appelle la somme de la série. 



" On peut dire encore que la série multiple sera convergente , si la sonmie 

 S devient toujours infiniment petite, dans le cas où les termes dont elle est 

 composée correspondent tous à des valeurs numériques infiniment grandes 

 de x^ r, z. , . . Cette seconde définition s'accorde évidemment avec la 

 précédente. Car, dans le second cas, la somme S peut être considérée 

 comme composée de termes qu'on aurait exclus de cette somme dans le pre- 

 mier cas; et, par suite , si dans le premier cas la somme S converge vers une 

 limite unique et finie, elle devra, dans le second cas, converger vers une 

 limite nulle , et réciproquement. 



» Concevons maintenant que , pour des valeurs entières de x , j, z , . . , 

 on représente par 



u = f{x, y, z,...) 



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