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le module de la fonction 



« = f(pc, J-, z>-- ■)■ 



Les modules des divers termes de la série qui a pour terme général u, se- 

 ront précisément les termes de la série dont le terme général est v ; et pour 

 cette raison nous dirons que la seconde série est la série modulaire corres- 

 pondante à la première. Gela posé, nommons , comme ci-dessus, S la somme 

 d'un grand nombre de termes delà première série. Soit, de plus, S la somme 

 des termes correspondants de la seconde. S représentera précisément la 

 somme des modules des termes compris dans la somme S. Donc, si la 

 somme ^ devient infiniment petite, dans le cas où les tei'mes qu'elle renferme 

 correspondent tous à des valeurs numériques infiniment grandes de chacune 

 des quantités x, y^ z , . ., on pourra en dire autant, à fortiori, do la 

 somme lS'. De cette observation, rapprochée de la seconde définition des sé- 

 ries convergentes, on déduit immédiatement le théorème dont voici l'é- 

 noncé. 



" i""' Théorème. Une série simple ou multiple est toujours convergente, 

 lorsque la série modulaire correspondante est convergente elle-même. 

 " Admettons maintenant que , la série multiple 



u = ï{x, 7, z,.. .) 

 étant convergente, on forme, avec divers termes de cette série, des sommes 



tellement composées que le même ternie ne se reproduise jamais dans deux 

 sommes distinctes, et que les seuls termes exclus du système des sommes 



A'o, K, , A'j , . . . , k 



ni 



quand le nombre «devient infiniment grand, soient des termes dans les- 

 quels les valeurs numériques de a:, j, z,... deviennent elles-mêmes 

 infiniment grandes. Enfin posons 



s„ = ko-¥ k, -\- k.^->r . . . -h k„. 



En vertu de la première définition que nous avons donnée des séries con- 



