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Cette dernière formule renferme le principe fécond sur lequel repose la 

 transformation des séries. 



.1 Parmi les séries multiples, ou doit surtout remarquer celles qui repré- 

 sentent des fonctions développées suivant les puissances entières positives, 

 nulles et néfjatives de plusieurs variables. Ou peut établir, à l'égard de ces 

 développements, diverses propositions analogues à celles que renferme mon 

 Mémoire de i83i, sur le calcul des limites; et, pour y parvenir, il suffit de 

 transformer d'abord ces fonctions en intégrales définies, puis de développer 

 en séries les intégrales obtenues. Ainsi, par exemple, en opérant de cette 

 manière, on démontrera sans peine le théorème suivant. 



" 3*^ Théorème. Si une fonction de plusieurs variables x , jr, z,. . . reste 

 continue pour des valeurs de x, _/, z,. . . comprises entre certaines limites, 

 non-seulement, pour de telles valeurs, la fonction sera développable en 

 une série convergente, ordonnée suivant les puissances entières de x, ^, z,..., 

 mais la série modulaire correspondante sera convergente elle-même. 



" Ajoutons que le calcul fournira une limite supérieure de l'erreur que 

 Ton commettra, quand on arrêtera le développement effectué suivant les 

 puissances entières de chaque variable après un certain nombre de termes, i 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur les fonctions qui se reproduisent 

 par substitution; par M. Augustin Cauchy. 



" Soient 



X, j, z,..., 

 et 



X, F, Z,... 



deux systèmes de variables liées entre elles par certaines équations, en 

 vertu desquelles X, Y, Z,... puissent être considérées comme des fonctions 

 conuues et déterminées dex, ^, s,.... La substitution des variables X, V,Z,... 

 au.x variables x, j\ z,... transformera une fonction quelconque de x^ij, z,... 

 représentée par la notation 



f (^, J, z,...), 

 en une fonction nouvelle 



f(x,r,z,...), 



qui sera généralenicnt distincte de la première. Mais, dans certains cas par- 

 ticuliers, il peut arrivei- que la nouvelle fonction se confonde avec la pre- 



