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 mière , ou du moins n'en diffère que par un facteur constant ou variable , 

 qu'il soit aisé de reconnaître, en sorte qu'on ait identiquement ou 



f(a',j,z,..) = f(X,F,Z,...), 

 ou du moins 



i{a:,j,z,...) = Kf(X,F,Z,...), 



K désignant une fonction déterminée àex^j, s,... que l'on puisse facilement 

 reconnaître et mettre en évidence, comme étant, avecf(^, V, Z,...), un 

 facteur de la fonction i[x , j^z,...). Alors nous dirons que la fonction 

 ï{x,j,z,...) se trouve reproduite parla substitution des variables X, Y, Z,... 

 aux variables x,y, z,... et par l'adjonction du facteur K au résultat que 

 fournit cette substitution même. 



M Parmi les fonctions qui peuvent se reproduire aussi par substitution, il en 

 existe quelques-unes qui méritent d'être remarquées. Telles sont, par exem- 

 ple, celles dont la considération m'a conduit à deux théorèmes qu'il est 

 facile d'établir et qui peuvent être énoncés dans les termes suivants. 



'1 i" Théorème. Concevons que l'indice « représente, au signe près, un 

 nombre entier. Soit, de plus, 



u„ 



une fonction de l'indice «, et des variables j:, j', z,.... Enfin, supposons que 

 les diverses valeurs de m„, savoir, 



(l) •• • W_3 , W_2, M_(, Mq, m,, «21 W3,..., 



forment une série convergente, prolongée indéfiniment dans les deux sens. 

 Si , en substituant aux variables x, y, z,... d'autres variables X, Y, Z,..., qui 

 soient des fonctions connues et déterminées des premières, on transforme gé- 

 néralement le rapport — en une nouvelle fonction équivalente au rapport 



-^j, alors la somme s de la série (i) sera une fonction de ;r, j., z,... qui 

 se trouvera reproduite par la substitution dont il s'agit , et par l'adjonction du 

 facteur— au résultat de cette substitution même. 



Ut 



" Démonstration. En effet, désignons, pour plus de commodité, par 

 i{x, _^, z, . . .) la somme s de la série (i). On aura non-seulement 



(2) y 3= . . . «_j + M_, + Ufj + Uf -h u^+ . . . , 



