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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur Une nouwLle méthode pour la détermination 

 des intégrales multiples ; par M. LEjEu>E-DÉRicni,ET. 



« On sait que l'évaluation ou même la réduction des intégrales mul- 

 tiples présente généralement de très grandes difficultés, lorsque les iné- 

 galités de condition qui définissent l'étendue des intégrations, renferment 

 à la fois plusieurs des variables. En m'occupant de quelques questions 

 de physique mathématique qui dépendent, en dernière analyse, de l'éva- 

 luation d'une classe d'intégrales multiples d'un ordre indéfini, j'ai été 

 conduit à une méthode qui parait diminuer, dans beaucoup de cas, les 

 difficultés dont je viens de parler. Cette méthode consiste simplement 

 à multiplier l'expression qu'il s'agit d'intégrer par un facteur dont la 

 valeur est égale à l'unité dans l'étendue que les intégrations doivent 

 embrasser, et qui s'évanouit en dehors de cette étendue. L'expression dif- 

 férentielle ainsi modifiée, pouvant être intégrée entre des limites cons- 

 tantes et très simples, telles que o et oo, ou — oo et oc, la question sera 

 le plus souvent beaucoup plus facile à traiter. C'est ce procédé que je vais 

 appliquer à quelques problèmes particuliers. Pour premier exemple, je 

 choisirai la question si célèbre de l'attraction des ellipsoïdes homogènes. 

 La méthode appliquée à ce problème présente cela de remarquable , que 

 la solution pour les deux cas d'un point extérieur et d'un point intérieur, 

 qu'on avait toujours ramenés du premier au second , ou traités par des 

 moyens tout-à-fait différents, résulte d'une analyse uniforme, qui s'é- 

 tend généralement à toute loi d'attraction proportionnelle à une puissance 

 quelconque entière ou firactionnaire de la distance. La même analyse ra- 

 mène ce problème aux quadratures, lorsque la densité, au lieu d'être 

 constante, est une fonction quelconque ratioimelle et entière des trois 

 coordonnées rectangulaires; mais, pour plus de simplicité, je supposerai 

 la densité constante et é;^ale à l'unité. 



» Soient jc,/, 2 les coordonnées d'un point quelconque de la masse 

 attirante , a, b,c celles du point attiré. Posons p' = (x — a)* -|- {y — b)* 



-J- (z — c'y , et soit — la loi de l'attraction , la constante p étant supposée 



comprise entre 2 et 3 , cas auquel il est facile de ramener tous les autres. 

 Cela posé, la question se réduit à déterminer l'intégrale triple suivante, 

 dont le coefficient différentiel pris par rapport à a, donne la composante 

 de l'attraction parallèle à l'axe des x, que je désignerai par A : 



-j^fff^ '■'• (5'+©' + ©' 



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