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Donc, pour que la seconde condition soit remplie, il suffira généralement 

 que les produits de ces derniers coefficients par s restent très petits. 



» De ce qu'on vient de dire il résulte que , pour toutes les valeurs de 

 la caractéristique z qui satisferont à la première condition, la seconde 

 condition se vérifiera généralement, si elle se vérifie pour une seule de ces 

 valeurs. Supposons qu'il eu soit ainsi , et nommons m le nombre des va- 

 leurs de X qui offrent une partie réelle égale ou supérieure à la partie 

 réelle de x.,. m représentera le nombre des intégrales principales, c'est-à- 

 dire , des intégrales de la forme (i4)j qui continueront de subsister 

 quand on aura égard au changement de forme des équations différen- 

 tielles dans le voisinage du plan fixe. D'ailleurs, comme pour une valeur 

 finie et positive de x, les valeurs de ^, », K,-- • ■ que fournissent les équa- 

 tions (8), doivent vérifier chacune des intégrales comprises dans la for- 

 mule (i4), sans réduire à zéro la somme 



• Xa -j- iu.h -\- vc + . . . , 



ce qui ne peut avoir lieu , à moins que l'on n'ait 



(34) K = o, 

 ou 



(35) ^ = X,: 



il est clair que , si *,, est une racine simple de l'équation (4), les intégrales 

 principales , comprises dans la formule (i4)j étant jointes aux formules (8), 

 entraîneront les conditions 



(36) K. = o, R, = o,...K„ = o. 



Réciproquement ces dernières conditions , jointes aux intégrales princi- 

 pales que comprend la formule (i4)i ou bien encore au système des for- 

 mules (il) qui peut remplacer, si l'on veut, le système de ces intégrales 

 principales , entraînera immédiatement les équations (8). Soient main- 

 tenant 



ce que deviennent les valeurs de 



?, », Ç,... 



détermmées par les formules (8) , quand on a égard au changement de 

 forme des équations différentielles données dans le voisinage du plan fixe , 

 et entre les limites xs=zo, x=:i. L'intégrale principale que représente la 



