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observons encore que , si l'on nomme 



Çoj "«> Co» • • 

 les valeurs de 



?.> >v ^.'••• 



correspondantes à JC = o, ces valeurs de ? , » , ^ ,. . . et les valeurs 



t e e 



correspondantes de ^, », Ç',.. . seront liées entre elles par m équations 

 que l'on pourra déduire immédiatement <les formules 



etc. 



(42) j 



par l'élimination des constantes arbitraires K„^,,. . . R,. 



«Dans ce qui précède , nous avons implicitement supposé que les racines 



de l'équation (4) étaient distinctes les unes des autres. Pour trouver les 

 modifications que doivent subir les diverses formules dans les cas où plu- 

 sieurs de ces racines deviennent égales entre elles, un moyen fort simple 

 est d'attribuer à quelques-uns des coefficients renfermés dans les équa- 

 tions différentielles données, des accroissements très petits que l'on réduit 

 ensuite à zéro; ou ce qui revient au même, à déduire les formules corres- 

 pondantes au cas des racines égales, des formules correspondantes au 

 cas où certaines racines diffèrent très peu les unes des autres. En opérant 

 de cette manière, on reconnaîtra, par exemple, que si l'on suppose, dans 

 la formule ( if)), les facteurs auxiliaires A, ju, v,... exprimés en fonction de z 

 et si d'ailleurs on prend pour x, une racine double, triple, quadruple, 

 de la formule (4), on devra, pour cette valeur de z, joindre à l'équation 

 (22), la dérivée du premier ordre, ou les dérivées du premier et du second 

 ordre, ou les dérivées du premier, du second et du troisième ordre... 

 de cette même équation différentiée une ou plusieurs fois de suite par 

 rapport à x. 



)> Pour montrer une application des formules qui précèdent, supposons 

 d'abord que le nombre m des valeurs de z , dont les parties réelles sont 

 égales ou supérieures à la partie réelle de z,, devienne précisément égal 

 à rt, en sorte que la première condition se trouve remplie pour toutes les 

 racines de l'équation (4). Alors les seconds membres des formules (3q) 



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