I 



( 465 ) 



du moins, celles dont les parties réelles, égales entre elles, offriraient la 

 moindre valeur. 



.. Nous avons ici supposé que l'équation (4) offrait n racines distinctes. 

 On passera aisément de cette hypothèse au cas où plusieurs racines de- 

 viendraient égales entre elles, en commençant par admettre que les 

 mêmes racines diffèrent très peu les unes des autres. 



S IV. Application du principe fondamental à un système d'équations linéaires aux 



différences partielles. 



» Considérons un système d'équations linéaires aux différences partielles 

 entre plusieurs variables indépendantes 



et plusieurs variables principales 



^' *"' ^'••- .;.?;.=.)<!.: 

 chacun des termes que renferment ces équations étant le produit d'un 

 coefficient constant par l'une des variables principales ou par l'une de 

 leurs dérivées. Un moyen fort simple de satisfaire à la fois à toutes les 

 équations données, sera de supposer les variables principales f , », f ,. . . 

 toutes proportionnelles à une même exponentielle népérienne dont 

 l'exposant soit une fonction linéaire des variables indépendantes^ et de 

 prendre en conséquence 



(0 ? = Ae-"+^-^+«'^+- • • , „ = Be-+''^+«'^+- ■ • , Ç = Ce-"+^+«'^+. . . ^ ^^^^ 



u,v,w,...k, B, C,... étant des constantes propres à vérifier le sys- 

 tème des formules 



(2) X = o, Ti!, = o, e = o, etc.,... 



qu'on obtiendra en substituant dans les équations données aux variables 

 principales 0, », C,. • . les facteurs A, B, C,. . . et aux dérivées de cha- 

 que variable principale 0, ou », ou Ç,. . . différentiée une ou plusieurs 

 fois de suite, par rapport k 3c,y,z,... les produits du facteur corres- 

 pondant A, ou B, ou C,. . . par des puissances entières de m, v, w,. . . 

 dont les degrés soient respectivement, pour la puissance de u, le nombre 

 des différentiations effectuées par rapport à x, pour la puissance de i> le 

 nombre des différentiations effectuées par rapport àj, et ainsi de suite. 

 Les équations (2) devant être évidemment linéaires, par rapport aux 

 facteurs A, B, C,. , . si l'on met décote la première de ces équations, les 

 suivantes pourront être en général remplacées par une seule de la forme 



