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 Ion déduirait de l'équation différentielle 



(24) ^. = â?' 



à laquelle on parvient, en remplaçant dans l'équation (i6), le coeffi- 

 cient R par sa valeur moyenne -. 



» Le théorème énoncé pourra ainsi être démontré généralement, à 

 l'aide de l'intégration par séries, quels que soient l'ordre de l'équation linéaire 

 donnée et le nombre de ses termes. Il y a plus : le même théorème se 

 démontrera encore de la même manière, si on l'étend à un système 

 d'équations différentielles ou aux différences partielles, en l'énonçant 

 comme il suit. 



» Théorème. Considérons un système d'équations linéaires, différentielles 

 ou aux différences partielles, entre plusieurs variables principales, qui se- 

 ront, si l'on veut, des déplacements moléculaires, et plusieurs variables 

 indépendantes, qui pourront être trois coordonnées x, j, z et le temps t. 

 Si , dans les différents termes supposés proportionnels aux variables prin- 

 cipales et à leurs dérivées , les coefficients sont des fonctions de x, y, z, 

 qui reprennent périodiquement les mêmes valeurs quand on fait croître 

 ou décroître chacune des coordonnées en progression arithmétique , par 

 exemple, quand on fait varier œ d'un multiple de a,^ d'un multiple de 

 b, z d'un multiple de c; il suffira en général que les rapports a, h, c des 

 progressions arithmétiques soient très petits relativement aux valeurs nu- 

 mériques attribuées à x,j,z, pour que les valeurs correspondantes des 

 variables principales se confondent sensiblement avec celles qu'on obtien- 

 drait, en remplaçant dans les équations linéaires données, chaque coeffi- 

 cierrt par sa valeur moyenne. 



» Nota. Il est bon d'observer que , dans le théorème énoncé , la valeur 

 moyenne de chaque coefficient doit être calculée de la même manière 

 que les ordonnées moyennes des courbes et des surfaces, les coordonnées 

 du centre des moyennes distances, et la densité moyenne d'un corps. En 

 conséquence , si l'on nomme R l'un quelconque des coefficients , sa valeur 

 moyenne ne sera autre chose que le rapport de l'intégrale triple 



ff n Hdzd^dx 



J oj o J o 



au produit a, b,c. 



» Remarquons encore que , remplacer, dans les équations linéaires don- 

 nées, chaque coefficient par sa valeur numérique, revient à intégrer, par 



m.. 



