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ANALYSE MATHEMATIQUE. — Mémoire sur la Théorie générale des équations 

 difféi entielles linéaires à deux variables ^ par M. G. Libui. 



«Depuis l'invention des nouveaux calculs, les géomètres n'ont pas cessé 

 de s'occuper des équations différentielles linéaires dont l'intégration , si on 

 pouvait l'effectuer généralement, fournirait la solution des questions les 

 plus importantes de la Mécanique et de la Physique mathématique. Toute- 

 fois, malgré de si persévérantes recherches, malgré la simplicité de la forme 

 de ces équations , on n'a pu en obtenir l'intégrale que dans un petit nombre 

 de cas dont la plupart sont très simples et très élémentaires. Si l'on fait 

 abstraction d'une propriété évidente des intégrales particulières qui, prises 

 ensemble ou séparément , satisfont toujours aux équations différen- 

 tielles linéaires privées du second membre, comme cela arrive pour 

 les solutions des équations linéaires à plusieurs inconnues, même lors- 

 qu'elles sont algébriques, on ne connaissait jusqu'à ces dernières an- 

 nées qu'une seule propriété générale des équations dont il est question 

 dans ce Mémoire. Cette propriété a été découverte par Lagrange, qui, 

 dans un théorème célèbre qui porte son nom , a démontré qu'une 

 équation différentielle linéaire étant donnée, on peut toujours en dimi- 

 nuer l'ordre d'autant d'unités que l'on connaît d'intégrales particulières du 

 premier membre de cette équation égalé à zéro. Cependant , ce beau 

 théorème , dont on a trouvé plusieurs démonstrations, est rarement appli- 

 cable , car c'est d'ordinaire l'équation différentielle qui est donnée , et, sauf 

 quelques cas particuliers, la recherche des solutions qui doivent servir à 

 simplifier l'équation proposée n'offre pas moins de difficultés que l'inté- 

 gration complète de cette équation. Lé principal mérite de ce théorème 

 consiste dans l'analogie qu'il établit entre les équations différentielles li- 

 néaires et les équations algébriques ordinaires dont on peut abaisser le 

 degré d'autant d'unités que l'on connaît de racines. Je crois avoir été le 

 premier à remarquer cette analogie et à en tirer parti. Dans un Mémoire 

 que j'ai présenté en i83oà l'Académie, j'ai prouvé que les divers coefficients 

 d'une équation différentielle linéaire sont des fonctions symétriques des 

 intégrales particulières, et que leur symétrie est d'un ordre plus général et 

 plus étendu que celle des fonctions symétriques des racines des équations 

 algébriques. J'ai tiré de cette proposition plusieurs théorèmes nouveaux sur 

 la théorie générale des équations différentielles linéaires. Ces théorèmes 

 de calcul intégral sont analogues à ceux que l'on doit à liewton pour tes 

 équations algébriques. On a remarqué depuis , que le procédé par lequel 



