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 théorie générale des équations différentielles n'a fait aucun progrès (i). Le 

 théorème de Lagrange , les rapports que j'ai découverts entre les coeffi- 

 cients de ces équations et les fonctions symétriques de leurs intégrales 

 particulières, constituent , jusqu'à présent, l'ensemble de nos connais- 

 sances sur ce sujet. 



» Cependant, je n'ai jamais cesse de m'occuper de ce genre de recher- 

 ches dans l'espoir de parvenir enfin à donner une théorie complète des 

 équations différentielles linéaires. En suivant toujours l'analogie qui m'a- 

 vait réussi d'abord, je voulais trouver pour ces équations des simplifica- 

 tions analogues à celles que l'on sait effectuer pour les équations algé- 

 briques. Après bien des tentatives, souvent infructueuses, je suis parvenu 

 aujourd'hui à démontrer que toutes les propriétés générales des équations 

 algébriques , et des fonctions symétriques de leurs racines , correspondent 

 à des propriétée analogues des' équations différentielles linéaires, et que 

 toutes les réductions que l'on peut opérer sur les unes pour en abaisser le 

 degré, réussissent dans les autres pour en diminuer l'ordre et la difficulté; 

 sauf cependant le cas où le succès de la réduction devait dépendre de la 

 résolution d'une équation à deux termes : car les équations de ce genre, 

 qui peuvent toujours se résoudre quand elles sont algébriques, présen- 

 tent dans le calcul intégral de très grandes difficultés. Cependant, on 

 pourrait diminuer beaucoup ces difficultés en considérant les équa- 

 tions différentielles linéaires à deux termes comme dépendant d'une classe 

 particulière de transcendantes , à l'imitation -de ce qui a été fait en 

 algèbre pour les racines de l'unité. 



D II serait impossible d'énumérer ici tous les théorèmes qui se trouvent 

 démontrés dans le Mémoire que j'ai l'honneur de présenter aujourd'hui à 

 l'Académie: je me bornerai àciter celui qui sert de baseàmes recherches, 

 et dont voici l'énoncé. 



» Une équation différentielle linéaire à deux variables de l'ordre n étant 

 donnée, si l'on connaît les coefficients d'une autre équation différentielle de 



(i) Si je ne cite pas ici plus particulièrement les recherches intéressantes de M. Sturni 

 sur quelques propriétés spéciales des intégrales particulières des équations différen- 

 tielles linéaires du second ordre, ce n'est pas que je n'en fasse le plus grand cas ; maifs 

 les conditions analytiques dans lesquelles l'auteur s'est placé ne me semblent pas de 

 nature à faire considérer son travail comme un chapitre de la théorie générale des 

 équations différentielles linéaires. S'il m'était peruiis de ra'exprimer ainsi je dirais que 

 les recherches de cet habile géomètre se rattachent plutôt à la résolution numérique 

 de ces équations. 



