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 l'ordre m, également linéaire, entre, les mêmes variables et qui doit exis- 

 ter, en même temps que la première , on pourra toujours, à l'aide des coef- 

 facients de ces deux équations et sanseffectuer aucune intégration , former 

 une troisième équation linéaire de l'ordre n-m, de telle manière que l'é- 

 quation de ordre n sera décomposée en deux autres qui seront respecti- 

 vement de 1 ordre m et de l'ordre n-m,et à l'aide desquelles on pourra 

 intégrer 1 équation proposée. ^ 



» On voit ici qu'U n'est plus nécessaire, comme dans le théorème de La- 

 grange, de connaître une ou plusieurs iuiégrales particulières de l'équa- 

 t.on pour opérer une réduction : il suffit d'avoir deux équations simulta- 

 nées, et 1 équation de l'ordre le plus élevé se partagera immédiatement en 

 deux autres équations plus simples. Cette réduction est surtout utile lors- 

 qui s agit d« considérer les actions réciproques de deux corps échauffés 

 e dans une multitude de questions semblables. Elle.répond, dans l'analyse' 

 algébrique, a a possibilité de partager une équation en deux autres, lors- 

 qu on sait quelle a pour facteur un polynôme de forme donnée. Dans 

 les deux cas on obtient les coefficients de la troisième équation en fonc- 

 tion des coefficients des deux équations simultanées. Il est essentiel 

 de remarquer que pour déterminer cette troisième équation on ne devra 

 employer que les n-m premiers coefficients (i) des deux équations don- 

 nées. 11 resuite de là une simplification très remarquable : en effet , si, dans 

 les deux équations différentielles simultanées, ce, n-m premiers coeffi- 

 cients sont constants, la troisième équation aura aussi tous ses coefficients 

 constants et pourra être immédiatement intégrée : ce qui réduira l'équation 

 de I ordre n a une équation de l'ordre m. 



» Je passerai sous silence plusieurs autres réductions non moins utiles, 

 et je me bornerai à signaler une formule par laquelle on peut toujours 

 transformer une équation différentielle linéaire en une fonction de la 

 variable et de toutes les intégrales particulières , qui y seront contenues 

 symétriquement, de manière que les deux expressions soient identiques 

 et que SI Ion égale la variable aune quelconque des intégrales particu- 

 lières, la formule se réduise identiquement à zéro. C'est à l'aide de cette 

 expression (qui correspond dans la théorie des équations algébriques à 

 la décomposition d'un polynôme quelconque en facteurs du premier 



(Oïl est bien entendu qu'il s'agit ici d'équations dont le premier terme a pour coeffi- 

 cient 1 unité; ce qui, avec les autres, forme n_m-)-, coefficients donnés. 

 C. R. i839, i«r Semestre. (T. Vm , N» 19,; „„ 



