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degré\ que je suis parvenu au théorème énoncé précédemment sur les 

 équations simultanées. 



» Il est évident que l'on pourra ^'assurer aussi si une équation différen- 

 tielle linéaire peut se décomposer en d'autres équations à coefficients ra- 

 tionnels d'un ordre quelconque. La même recherche pourrait s'effectuer 

 si ces coefficients , au lieu d'être rationnels, devaient dépendre de l'inté- 

 gration d'équations linéaires moins élevées que l'équation proposée et à 

 coefficients rationnels. Enfin, je le répète, la théorie générale des équations 

 différentielles linéaires se trouve, par mes recherches actuelles, aussi 

 avancée que l'est depuis long-temps la théorie des équations algébriques. 



» Après avoir exposé rapidement l'objet du Mémoire que j'ai l'honneur 

 de présenter aujourd'hui à l'Académie, il me reste à combler une lacune 

 apparente relativement à l'exposé des travaux qui ont été faits, depuis 

 Lagratige jusqu'à nos jours , sur la théorie générale des équations différen- 

 tielles linéaires. En affirmant que cette théorie n'avait fait aucun progrès 

 depuis le théorème de Lagrange, jusqu'aux conséquences que j'en ai 

 tirées , je n'ai pas oublié que M. Liouville , professeur à l'Ecole Poly- 

 technique, s'est occupé à plusieurs reprises de questions analogues, et qu'il 

 a annoncé posséder une méthode par laquelle il pourrait toujours décider 

 si une équation différentielle linéaire du second ordre, privée du second 

 terme, et dont les coefficients doivent satisfaire à certaines conditions, peut 

 être intégrée à l'aide d'une fonction qui ne renferme qu'un nombre limité de 

 'ois les signes relatifs aux opérations algébriques, exponentielles et loga- 

 rithmiques. Un tel résultat serait fort important s'il était réel ; mais comme 

 M. le professeur Tjiou ville a suivi, dans ses nouvelles recherches , la même 

 méthode et la même classification (i) qu'il avait déjà employées pour 

 décider si une formule différentielle peut être intégrée à l'aide de fonctions 

 logarithmiques et exponentielles, et que malheureusement les géomètres 

 n'ont approuvé ni ces méthodes , ni ces classifications (2), il en résulte que 

 les recherches analogues sur les équations différentielles se trouvent en- 

 tachées du même défaut. Comme il s'agit ici du travail le plus considérable 

 de ce savant professeur, qui l'a fait paraître plusieurs fois, et qui n'a pas 

 cessé de le.reprendre et de l'augmenter depuis, il est nécessaire d'entrer à 

 ce sujet dans quelques développements. 



(1) Voyez Journal de Mathématiques , publié par M. Liouville, tome II, p. 5(j. 



(2) C'est ce qu'ont décidé les Commissaires charges d'exauiiner le premier Mémoiri.- 

 de M. Liouville, dans le rapport qu'ils ont présenté à l'Académie, le 3i mars i834. 



