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» Il y a plus de six ans que M. Liouville a présenté à l'Académie deux 

 Mémoires sur la détermination des intégrales dont la valeur est algé- 

 brique: dans ce travail, l'auteur s'appuyant sur des recherches d'Abel, qu'il 

 dit n'avoir pas connues d'abord quoiqu'elles eussent paru plusieurs années 

 auparavant dans le Journal de M. Crelle (i), a résolu .une question qui, 

 le théorème d'Abel étant donné, se réduit, en dernière analyse, à la 

 recherche, toujoilrs fort simple, des intégrales rationnelles des équations 

 linéaires. 



» Après ce premier travail , M. Liouville a voulu résoudre une ques- 

 tion beaucoup plus importante: il a tenté de déterminer l'intégrale d'une 

 fonction différentielle en supposant qu'elle puisse s'exprimer en fonction 

 algébrique, exponentielle ou logarithmique de la variable, et il a donné 

 des règles pour démontrer dans certains cas l'impossibilité d'exprimer l'in- 

 tégrale en n'employant que ces mêmes fonctions. Ici M. Liouville n'a fait 

 aussi qile suivre les recherches d'Abel qui , en énonçant un théorème plus 

 général que celui dont M. Liouville a fait là base de ses travaux (2) , avait 

 ajouté aussi des développements qui prouvent que sur cette matière il 

 laissait peu de chose à faire à ses successeurs, et qu'il avait même intro- 

 duit dans son analyse les fonctions elliptiques. 



» Dans un Mémoire qu'il a présenté en i833 à l'Académie, M. Liouville 

 a fait connaître les fondements de sa méthode : elle s'appuie sur le théo- 

 rème d'Abel, déjà cité, que l'auteur du Mémoire s'est efforcé de démontrer 

 à l'aide d'une classification des' transcendantes qu'il a partagées en autant 

 de classes distinctes qu'elles contiennent de caractéristiques les unes sur 

 les autres. C'est à cette classification que M. Liouville attribue tout le suc- 

 cès de sa méthode. Toutefois, dans le rapport que nous avons fait à 



(i) Journal de l'École Polytechnique, XXW cahier, f. i5i. — Ce fait, auquel on 

 pourrait en ajouter plusieurs autres tirés également des Mémoires de M. Liouville, 

 aurait pu, ce me semble, le porter à juger avec plus d'indulgence ce qui est relatif 

 au fragment de d'Alembert , cité plus haut. 



(2) A l'égard de ce théorème, M. Liouville se borne à dire ce qui suit : « Il est néces- 

 saire d'avertir que l'on ne rencontre, en aucun endroit des ouvrages d'Abel, la dé- 

 monstration du théorème que j'établis dans ce Mémoire, n° 4 ^* suivants; théorème 

 sur lequel roulait , ce me semble , la difficulté principale de la question que j ai réso- 

 lue. .. (/our«ai <ie/'Éco/e Po/r'ecftnj'yue, XXIII' cahier, p. 38.)— Pour plus d'exacti- 

 tude il aurait fallu dire que le théorème dont il est question dans ce passage a été 

 énoncé par AheX {Journal de Mathématiques publié par M . Crelle, tome VI, p. 77). 



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