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 On a donc ainsi m + n égalités dont les n premtères fonrnissent succes- 

 sivement et sans intégration les valeurs de *, , «., a„ : les suivantes 



conduisent aux équations de condition qui doivent être remplies pour que 

 l'équation (i) soit vérifiée en posant j = 6. En supposant ces équations 

 de condition satisfaites, l'intégration de l'équation (i), qui est de l'ordre 

 ?n-^ n, se trouve dépendre de celle des équations (3) et (4) qui sont res- 

 pectivement de l'ordre m et de l'ordre h. De plus, d'après la manière dont 

 les valeurs des quantités ct,,a.^ . . . «., sont formées, il est évident qu'elles 

 ne dépendent que des « premiers coefficients des équations (i) et (a) ; 

 ce qui complète la démonstration du théorème de M. Libri. » 



Observations sur le Mémoire Hc M. Libri, inséré dans le Compte rendu 

 de la dernière séance; par M.. Liouviile. 



a Mon intention n'est pas d'examiner en détail la première partie de ce 

 Mémoire, où M. Libri s'occupe de ce qu'il nomme la théorie générale des 

 équations différentielles linéaires à deux variables, et dont on ne peut se 

 former qu'une idée très incomplète puisque l'auteur n'y a joint aucun dé- 

 veloppement analytique. Je me contenterai de faire observer que presque 

 tous les résultats annoncés dans le Compte rendu l'avaient été déjà dans 

 le Journal de M. Crelle , où M. Libri a publié ses premiers essais sur ce 

 sujet : j'ajouterai que ces résultats ne me semblent pour la plupart ni très 

 neufs, ni très difficiles à démontrer. Ainsi, le théorème que M. Libri donne 

 comme la base de son travail, et qu'il déduit, dit-il, de ses nouveaux 

 principes , peut être établi directement de la manière la plus simple , sans 

 aucune théorie préliminaire. 



j' Il y a , dans le Mémoire de M-. Libri , une seconde partie rédigée avec 

 un sojii tout particulier, et qu'il consacre spécialement à critiquer mes 

 travaux sur la théorie des fonctions finies explicites. Je ne rechercherai 

 pas quel a été ici le but de M. Libri : j'aborderai franchement, et sans 

 préambule, l'objection qu'il oppose à ma méthode, et qui, suivant lui, 

 rend inadmissible la classification des transcendantes dont je me suis servi. 

 Deux mots suffiront, je le crois, pour détruire cette objection. 



» Je nomme fonction algébrique toute fonction que l'on peut regarder 

 comme la racine d'une équation d'un degré quelconque à coefficients 

 rationnels : en d'autres termes, j est une fonction algébrique de x lors- 

 qu'on a 



j-" + P^/'-' 4- Qj/'-2 -f- etc. = o. 



