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 ■ «Dans les mémoires où j'en ai fait usage, je crois être arrivé à des résul- 

 tats importants. J'ai, par exemple, démontré le premier l'impossibilité 

 d'exprimer en quantités finies explicites les intégrales de certaines fonc- 

 tions algébriques, problème dont plusieurs géomètres s'étaient occupés 

 sans en trouver une solution exacte (*) ; j'ai donné une méthode certaine 

 pour trouver /e'^cir, / étant une fonction algébrique de x , toutes les 

 lois que cette intégrale est possible en quantités finies explicites, ou pour 

 prouver qu'elle ne se réduit pas à de telles quantités, ce qui a lieu le plus 

 souvent. J'ai montré, dans un autre endroit, que les fonctions de x for- 

 mées en élevant la variable x aune puissance irrationnelle ou imaginaire, 

 doivent être rangées parmi les transcendantes de seconde espèce, tandis 

 qu'elles se réduiraient à de simples expressions algébriques si l'exposant était 

 rationnel. Puis, étendanf mon analyse à la résolution des équations trans- 

 cendantes, j'ai donné une méthode qui peut, dans un grand nombre de 

 Cas, servir à les résoudre en quantités, finies explicites ou à prouver 

 qu'elles ne sont pas susceptibles d'une telle solution. J'ai montré en parti- 

 culier que l'équation qui lie entre elles, dans la théorie du mouvement 

 elliptique des planètes, l'anomalie excentrique et l'anomalie moyenne, ne 

 peut pas fournir la première de ces deux quantités en fonction finie ex- 

 plicite de la seconde. C'est donc avec raison que les géomètres , lorsqu'ils 

 ont cherché la valeur de l'anomalie excentrique, ont eu recours soit aux 

 séries, soit aux intégrales définies. 



>i Les recherches d'Abel sur le même sujet, lesquelles, soit dit en passant, 

 sont très loin d'embrasser la théorie dans toute son étendue, ont été citées 

 par moi dès mes premiers Mémoires. J'ai même transcrit en entier la dé- 

 monstration par laquelle l'auteur prouve que si l'intégrale d'une fonction 

 algébrique j'rfx est réductible à la forme 



fydx = « -f- A log i< 4-. . .4- G log w, 



A,. . .G étant des con.stantes et t, u,. . .îvdes fonctions algébriques âe x, 

 on pourra toujours supposer que ces dernières sont fonctions rationnelles 

 de X et y. Il est très vrai que sur ce point je n'ai pas même essayé de mo- 



(•) Voici coimnenl M. Poisson s'exprime dans son rapport sur les travaux d'Abel et 

 de M. Jacobi ; u II y a lieu de penser que la plupart des intégrales qui ont résisté jus- 

 >> qu j présent aux ellbrlb si souvent réitérés des géomètres , et qui échappent à des mc- 

 « tbodcs où l'on a mis Cii œuvre toutes les ressources de l'analyse , sont impossibles 

 )i sous forme finie, quoique cette impOssibiUté n'ait encore encore été démontrée pour 

 >> aucune d'clks. >. 



