VINGT-QUA.TRIÈME SESSION. 477 



d'une sphère, ainsi que les droites menées par les centres 

 de ces cercles perpendiculairement à leur plan, passent 

 nécessairement par le centre de cette sphère. 



i ni. 



1 . — Les droites qui partagent les angles d'un triangle 

 en deux parties égales se coupent toutes trois en un même 

 point, qui est le centre du cercle inscrit. 



2. — Les plans qui divisent les angles dièdres d'un 

 tétraèdre en deux parties égales se coupent toutes six en 

 un même point, qui est le centre de la sphère inscrite. 



Ou autrement : 



Les droites qui, partant des sommets des angles triè- 

 dres d'un tétraèdre font des angles égaux avec les faces 

 de ces angles trièdres, se coupent toutes quatre en un 

 même point qui est le centre de la sphère inscrite. 



En effet, 1° les deux faces de l'un quelconque des 

 angles dièdres d'un tétraèdre sont des plans tangents à la 

 sphère inscrite, et il est évident que le plan, qui divise en 

 deux parties égales l'angle formé par ces deux-là , doit 

 passer par le centre de la sphère ; 



2° Soit un angle dièdre circonscrit à une sphère ; le 

 cône droit inscrit à cet angle trièdre sera comme lui cir- 

 conscrit à la sphère ; or, il est facile de voir que l'axe de 

 ce cône, lequel ne sera autre chose qu'une droite qui, 

 partant du sommet de l'angle trièdre, fera des angles 

 égaux avec ces faces, passera par le centre de la sphère. 



§ IV. 



1 . — Les droites qui joignent les sommets d'un triangle 

 aux milieux des côtés opposés se coupent toutes trois en 



