8 ESTUDO SYNTHETICO 



Sejam O, O' (fig. 4), os respectivos centros; OT e 0'T os dois 

 raios, dos quaes cada uin é no seu feixe o homologo da recta 00' re- 

 putada raio do outro, Oa, 0'u; Ob, 0'b' os dois systemas de raios pa- 

 rallelos. A recta qc^ que unir as intersecções dos raios Oa, 0'b' ; Ob, Oa 

 passa por T (13): mas a figura OqO q e um pai'a]]elogramnio, logo 

 a diagonal qq passa pelo meio /'' de 00' . Conclue-se pois, que o único 

 systema de raios parallelos, compativel com o systema já existente 

 Oa, 0'a , se obtém tirando a recta TF, de T para o meio de OO' a 

 fim de determinar o ponto q por onde deve passar -o raio 0'h' do se- 

 gundo systema, 



1 7 Corol. Estes dois systemas reduzem-se a um só quando a re- 

 cta TF fòr parallela ao raio Oa. 



1 8 Thcor. As cónicas dividem-se em três géneros de curvas. 



1.° Curvas fechadas d'um ramo finito. 



2." Curvas fechadas d"uin ramo infinito. 



3." Curvas abertas de dois ramos infinitos. 



Com effeito, ou nào ha systema algum de raios homólogos paral- 

 lelos nos dois feixes geradores, ou ha um systema, ou ha dois. 



1." Caso — ^ Os dois raios geradores Oní, e 0'm girando em torno 

 de seus centros respectivos O, O vào descrevendo a curva continua- 

 mente, produzindo uma successão de pontos á distancia finita dos dois 

 centros O, Ú . Esta curva passa pelos pontos O, O' (5); é convexa, e 

 fechada, por não poder ser cortada por uma recta em mais de dois 

 pontos (6). 



Esle género é o das ellipses. 



2.° Caso — A curva compõe-se d um só lamo infinito podendo 

 reputar-se fechada, e por conseguinte comprehendida de certo modo 

 no primeiro género. 



Com efTeito os raios parallelos Oa, O' d (fig. 5), podem reputar-se 

 concorrendo no infinito; e nada obsta a suppòr ahi um ponto da cur- 

 va. Imagine-se agora que o raio O d se desloca, giiando em torno do 

 centro O , até tomar uma posição qualquer O' m, compiehendida dentro 

 do angulo «lOV'; apenas esta direcção deífirir de OV/', já o prolonga- 

 mento do raio O' in encontra o raio Oa por baixo de OO : a recta/ 7' pas- 

 sará á direita de F, meio de OÚ \ e logo, será Of^ 0^p\ por conse- 

 guinte os dois laios homólogos Oin, O m concorrerão por cima de OO 

 de modo que este ponto m vindo do infinito, começafá e acabará por 

 se approximar do ponto O' , á medida que O' tn girar para a direcção 

 O t . O mesmo se conclue para o lado opposto, quando o raio Oa. girar 

 para Ol. Também é fácil reconhecer que os raios dirigidos tFum dos 



