10 ESTUDO SYKTFIETICO 



sobre o raio Ob (cresta curva convexa que estudamos (6)), se approxi- 

 mará mais e mais de Ot, até attingir esta recta no ponto O, o que 

 acontecerá quando o raio movei, que girar de Ob para Ot, se houver 

 confundido com esta mesma recta. 



Supponlia-se agora que o raio 0'c continua o seu giro para baixo 

 de Ot\ mantendo-se dentro do angulo t^O A'\ ver-se-ha que em qual- 

 quer posição 0'c\ ellc cortará o seu homologo dentro do triangulo 00' T, 

 de modo que a curva continuará de O' até O; attingindo este ulti- 

 mo ponto, quando o raio 0'c chegar á posição O' J' (5), (12). O mesmo 

 se deduz relativamente ao raio que se fizer girar á roda do O, de Ot 

 para OJ; e se conclue: haver um ramo infinito contido no angulo íT^/t' 

 das duas tangentes, o qual caminhando no triangulo TOO' , tocará em 

 O, e O' as rectas Ot e 0'l', irradiando d'estes pontos para o infinito, 

 que procura alcançar por dois lados, correndo dentro dos ângulos bOt, 

 e a'0't' , nào cessando de approsimar-se mais e mais dos lados Ob, e 0'a' , 

 que só attinge no infinito. 



Finalmente, considere-se o giro d'um raio movei indo de Ob para 

 Oa (fig. 7): tào depressa este raio movei se distinga de Ob, já o seu 

 prolongamento cortará o raio 0'a' dentro do angulo a^Ob^ : a recta fT 

 cortará 00' em /, á direita de F ; e por tanto as rectas Of, e 0'p', 

 compichendidas entre as duas parallelas Oa, 0'a' , concorrerão por baixo 

 de OO'. Este raio movei não cessará pois de encontrar a curva por baixo 

 de 00'; a qual, por assim dizer, conduzirá por dentro do angulo b^qa,', 

 desde o infinito, em que a encontra na direcção Ob^, até a abandonar 

 outra vez no infinito ao tomar a direcção Oa, , quando o seu homo- 

 logo se confundir com 0'fl'/. A curva é pois o conjuncto de dois ra- 

 mos infinitos convexos entre si. 



2.°" Hypothese. — Supponha-se que o raio 0'a' (fig. 8), gira para 

 O' A', tomando uma posição qualquer 0'c, dentro do angulo a' O' A' : 

 n'esta posição o seu prolongam.ento encontrará o raio Ob^ entre O e q ; 

 a recta TJ passará ao lado de F (rfesta fig. á esquerda), e logo os dois 

 raios homólogos 0'a', e Oa, ou OV// e 0«, transportados ás posições 

 0'c, e OjD concorrerão por baixo de 00' entre as duas parallelas 0«, , 

 e 0'al : mas quando o raio 0'c cobrir 0'A', o seu homologo cobrirá 

 OT; logo a curva tocará em O esta recta OT. Assim, neste movi- 

 mento do raio 0'c, de O' a' para O' A', e em que o raio Oa, gira de 

 Oái para OT. produz-se um ramo de curva, que vindo do infinito por 

 entre as parallelas Oa, , e 0'rt/, se approximará mais e mais da recta 

 OT, a qual attingirá no ponto O. 



Se considerarmos o raio 0'bl girando para O' A' , vèr-se-ha de 



