42 ESTUDO SYNTHETICO 



que os vértices daquelle sejam os pontos de contacto dos lados d'cste, 

 estão em linha recta. 



Os pontos Q', p', e p" (flg. 45) eslào cm linha recta (80, 1/ pro- 

 posição (5)), mas pela mesma razão também estão em linha recta os 

 pontos Q, p', e p" ; logo estão em linha recta os pontos Ç, Ç',p',ep". 



Doutro modo : 



O ponto p da intersecção das duas diagonaes 6d e ac é polo da 

 recta QQ' ; o mesmo ponto p é polo da recta p'p" (56); logo os pon- 

 tos p', p", Q, e Q' estão em linha recta. 



83 CoroL 3." As diagonaes dos quadriláteros formados por dois 

 lados oppostos do quadrilátero circumscriplo, e dois lados oppostos do 

 quadrilátero inscriplo a uma cónica, taes ([ue os vértices deste sejam 

 os pontos de contacto dos lados d'aquelle, coitam-se mutuamente na 

 intersecção commum das diagonaes d'cstes últimos. 



Com eíieito, em virtude da 2." proposição [B), a recta JG passa 

 pela intersecção p das diagonaes ac, c/ò; logo as diagonaes do quadri- 

 látero Gf/Iò passam por p. 



84 Thcor. Em dois triângulos, um inscripto e outro circums- 

 cripto a uma cónica, taes que os vértices d'aquelle sejam os pontos de 

 contacto dos lados d'este, os lados respectivamente oppostos d 'um e 

 outro intersectam-se sobre a mesma recta. 



Os dois triângulos ABC, abe (fig. 46) constituem um hexágono 

 era que os lados do triangulo circumscripto representam as direcções 

 limites de três lados reduzidos. Cada um dos vértices do triangulo ins- 

 cripto é vértice duplo do referido hexágono. Numerando pois os seus 

 lados como se acha executado n'esta figura, reconhecer-se-ha, que, bas- 

 tará applicar a este hexágono a proposição [1,4; 2,5; 3,6] para de- 

 duzir a proposição actual. 



D'outro modo: Aa é a polar de p' (51), (57), Ce e a polar de p; 

 logo a recta p p' e a polar de i (58); mas no angulo ABC, cortado pe- 

 las transversaes A'J' , e co", é a recta Bí^a polar de &", em quanto que 

 na cónica é Bb a polar de p" ; logo os três pontos B, i, e b estão em linha 

 recta. E visto que Bb é á polar de p'', e Aa é a polar de p', segue-se 

 que p'p" é a polar de /; por tanto os três pontos p, p', e p" estão em 

 linha recta. 



Conclue-se ao mesmo tempo que, as rectas que unirem os vér- 

 tices oppostos de dois triângulos, um inscripto e outro circumscri- 

 pto a uma cónica, taes que os vértices do primeiro sejam os pontos 

 de contacto dos lados do segundo, se intcrsectam no mesmo ponto. 



