48 ESTUDO SYNTHETICO 



existirem todos lambem nas diagonaes HH' , e //' do quadrilátero cir- 

 cumscripto IH'I'HI. 



Schol. 1 ." Os Ires pontos p, p', e p" gosam da propriedade de que, 

 cada um é em relação a qualquer das cónicas o polo da recta que passa 

 pelos outros dois. 



Sc/iol 2.° Os dois pontos p', e o' dividem ao mesmo tempo har- 

 monicamente os dois segmentos ab, e a'h' (51). Logo, quando as có- 

 nicas se cortarem só jjor dois pontos, um d'estes segmentos entrará em 

 parte no outro, e os dois pontos p', e p" serào imaginários. 



103 Theor. Os pontos M, e M dividem harmonicamente o se- 

 gmento pp". 



Com eíTeito, o ponto p é o polo da recta MM em relação ao an- 

 gulo H MH' \ logo a divisão p, //', p", H é harmónica, e por tanto é 



harmónico o feixe I^H'^"H: mas este cortado pela recta MM' ofFerece a 

 divisão harmónica p', M' , p", M. 



Os pontos p, /', p', / também estão em proporção harmónica, 

 como é evidente. 



Schol. Os seis pontos a, b ; ol , b' ; e M, M' formam uma involu- 

 çào de que p', e p" são os pontos duplos; e por conseguinte tcr-se-ha 

 em relação ao ponto O, meio de pp" 



Oa.Ob = Oa' . Ob' = OM . OM'. 



104 Theor. Não ha senão três pontos, cada um dos quaes seja 

 o polo da recta que contém os outros dois em relação a duas cónicas. 



Com eífeito, se além dos três pontos p, p', e p'' houvesse outro 

 grupo dotado da mesma propriedade, por ex. p,, p ', e p/', a tangente 

 /// (fig. 54) commum a ambas as cónicas cortaria geralmente as rectas 

 p^p^', e ^^^1' em novos pontos /,, e tí-, mas então pelos pontos /^, e H' ; 

 H' e /' passariam novas tangentes communs ás duas cónicas, distinctas 

 de IH', e Hl' ; o que é absurdo (86) : logo as intersecções H,% I sub- 

 sistem ainda com o novo grupo p^, p/, p". 



O mesmo se concluiria a respeito dos pontos /', e H. Se pois 

 o quadrilátero circumscripto HÍHI deve manter-se em ambos os gru- 

 pos, não poderão estes ser distinctos, isto é, os pontos p^, p^', e p/' con- 

 fundir-se-hão respectivamente com os pontos p, p', p". 



105 Havendo penetração como na fig. 55, além dos quadrilá- 

 teros já considerados, ha ainda o quadrilátero cfgh inscripto a ambas 

 as cónicas. Os lados oppostos deste quadrilátero e suas diagonaes, cons- 



