50 ESTUDO SYNTHETICO 



respectivamente em torno dos três pontos situados em liniia recta t, 

 t\ e M\, além d'isso os vértices ?, e 6' percorrerão as rectas êo, e 'é^j 

 respectivamente ; logo também o vértice x percorrerá uma recta fixa, 

 a qual passará pela intersecção p de gp, e ê'&. K pois que cada elemento 

 de caminho descripto por a é dirigido de y. para o, segue-se que a li- 

 nha ao é fixa. 



Applicando eguaes considerações a qualquer dos triângulos cyê', 

 ou êj/'ê' concluir-se-ha o ser também fixa a recta yp'. 



109 Theor. As polares do ponto ilf em relação ás duas cóni- 

 cas formam um feixe harmónico com as rectas pa, e ly. 



Com eífeito, no quadrilátero ■/^'Sy' , os pontos 'oclc estão em pro- 

 porção harmónica ; e por tanto o feixe pê'aêy é harmónico. 



1 1 O Theor. Os dois grupos sextinarios t, T ; t' , T \ G, M : t, t'\ 

 T, T' ; G\ y)/ estão em involuçào. 



Demonstra-se o primeiro, considerando o quadrilátero ê>;'ê'a cor- 

 tado pela transversal MT. Demonstra-se o segundo, considerando o 

 quadrilátero êy'g'y€ cortado pela mesma transversal MT. E' effectiva- 

 mente n'aquelles pontos, conjugados dois a dois, onde a dita trans- 

 versal corta os lados oppostos e diagonaes dambos os quadriláteros. 

 Dando á transversal MT a posição Ma, deduzir-se-ha o estarem em 

 involuçào os dois grupos 



a, b' \ a! , b\ M, u ; 

 a, a' \ b, h' \ M, u . 



1 1 I Theor. As duas cónicas são duas figuras homologicas. O 

 ponto M é o centro de homologia. As rectas px, e py são dois eixos 

 de homologia. 



As duas divisões ê, L, P, fj, e ê', Z,', p, p são homographicas ; 

 logo são homographicos os feixes T^LPo, e T'&L'p'j; e como coinci- 

 dam n'estes os dois raios homólogos TL, e T' IJ ; segue-se que os ou- 

 tros raios homólogos concorrerão em pontos situados em linha recta. 

 Ora, os raios Tè , T'&; To, T'o concorrem na recta ox; logo tambent 

 as rectas TP, e T'p concorrem em pa. 



Se houvéssemos considerado os dois feixes l^LPo, e T&Lpo tam- 

 bém teríamos provado o concorrerem tP, e t'p na mesma recta pa. 



Se a recta MT tomar a posição MT, , as rectas T^P, e Tlp ain- 

 da concorrerão em py.\ e logo as rectas TTi-, e 7"' 7^/ concorrerão 

 egualmente em pa. E visto que toda a corda TT concorre com a 

 sua homologa T'T l, comprehendida pelas mesmas transvcrsaes tira- 



