SOBRE AS SECÇÕES CÓNICAS 55 



phico com Om...\ logo as intersecções dos raios homólogos dos dois 

 feixes OnL—, e Om... geram uma cónica, tangente em O' , e O a's re- 

 ctas 0'rj, e Oo. 



Finalmente: Os feixes/'w..., e 0'm... sào Iiomographicos, mas 

 este é homographico com /?;/...; logo as intersecções dos raios homó- 

 logos dos dois feixesy'wí..., ey)«' geram uma cónica. 



120 Theor. As polares de duas cónicas C, e C (fig. 58) relati- 

 vas ao ponto M, onde se intersectam duas tangentes oppostas com- 

 muns a ambas as cónicas, cortam respectivamente as duas polares 

 d'ambas as cónicas relativas a qualquer ponto m, em pontos que estào 

 em linha recta com o dito ponto M. 



Com efleito, tirando a recta Mm, esta cortará as duas polares de 

 M nos pontos i, e i' : Ora, as polares de /, e i' em relação a C, e C 

 formam uma só recta ([ue passa pelo ponto ^1/(98); as suas intersec- 

 ções q, e q^ com as rectas pP, e pjo sào os poios da recta Mm em uma 

 e outra cónica (58); logo as polares de m em uma e outra cónica, 

 passam respectivamente por q, e q' (59). 



121 Tlieov. As rectas dirigidas do ponto p, onde se encontram 

 duas cordas oppostas communs a duas cónicas, para os diversos pon- 

 tos d'uma recta dada, formam um feixe homographico em involuçào 

 com as rectas dirigidas do mesmo ponto p para os pontos respectiva- 

 mente recíprocos d'aquelles. 



Sejam ZZT (fig. 58) a recta dada, e ni' o ponto reciproco do pon- 

 to m : tirem-se as rectas p;«, e ^m! \ e supponha-se que o ponto in per- 

 corre a recta LH\ o ponto in descreverá a polar-conica, a qual pas- 

 sará pelo ponto p, c pelos poios O, e O das cónicas C, e O relativa- 

 mente á recta LH (1 12); logo os dois feixes p/«'..., e Om' ... sào homo- 

 graphicos : mas este é homographico com Om... (63), o qual também 



é homographico com pw...; logo os dois feixes pw..., e pw/ sào homo- 

 graphicos. 



O raio pw' do 2." feixe é o homologo do raio p//í do 1."; consi- 

 derado porém no 1.° feixe o dito raio pw', ou pw^,, elle tem ainda o 

 mesmo homologo pw ; porque existindo o ponto vi, na recta pw, re- 

 ciproca de pw (114), o ponto reciproco de w, existirá na recta pw ; e 

 logo o raio homologo de pw' é pw, como asseveramos. 



122 Theor. Os raios duplos dos dois feixes em involuçào pw^..., 



