Otras series se obtendrían dividiendo la ecuación dada por cada una 

 de las potencias á que se halla elevado x. 



Por último, si la ecuación constase de mas términos, se formarían 

 análogamente las hipótesis necesarias á fin de obtener los esponentes 

 en números enteros. 



88. Siendo genérica la forma de la serie que se ha obtenido para 

 el valor de una de las raices de una ecuación dada, y debiendo ser asi- 

 mismo genéricas las fórmulas que contienen la espresion de todas las 

 raices de dicha ecuación en función de sus coeficientes, resulta que la 

 serie hallada debe convenir á una sola de estas fórmulas escluyendo las 

 demás. Esto supuesto, si la ecuación es de grado impar, y contiene el 

 último término en que x está elevada á la primera potencia, la serie de 

 que nos ocupamos y fórmula que la corresponde debe dar la espresion 

 de una raiz real de la propuesta, cuando z sea una cantidad muy pe- 

 queña; porque haciendo 2=0 se desvanecerá del mismo modo esta 

 raiz, y quedará para la determinación de las restantes una ecuación de 

 grado par, que, como se sabe, puede resolverse en factores reales del 

 segundo grado, y ser en ella todas las -raices imaginarias. Si esto se ve- 

 rifica y se dan valores sucesivos á z, resultará que si por consecuencia 

 de ellos alguna de las raices se hace real, y esta es por ejemplo a+^x — 1 , 

 deberá asimismo hacerse real su correspondiente a — fy — 1; y como ha 

 de ser siempre impar el número de raices reales de la propuesta, re- 

 sultará que la raiz dada por la serie que hemos obtenido y fórmula 

 que la corresponda, será aquella que siempre permanece real. Esto se 

 verifica en la ecuación del tercer grado, de que nos hemos ocupado en 

 el número (86), y deberá verificarse en los grados superiores. Si la ecua- 

 ción dada fuese de grado par, la raiz que se obtenga debe también ser 

 real cuando z sea una cantidad pequeña, porque al desvanecerse esta 



