RAPPORTS. XIV: REDEKE — 28 — 



bekommt man jedoch bei variationsstatistischen Untersuchungen wohl nie; in den besten 

 Fällen nähert sich die erhaltene Figur mehr oder weniger der idealen oder Normalkurve. 

 Abgesehen von den später zu nennenden Ausnahmen können jedoch die Eigenschaften 

 der Normalkurve annäherungsweise auf die empirischen Kurven übertragen werden. 



Gerade in der Mitte der symmetrischen Kurve findet sich der Wert, welcher von 

 50 % der Varianten nicht erreicht und von 50 % überschritten wird. Man nennt diesen 

 Wert den Medianwert oder die Mediane. Die Grösse jeder einzelnen Variante ist nun 

 gleich der Mediane plus oder minus einer gewissen Abweichung, welche Deviation genannt 

 wird. Weiterhin sind noch zwei Punkte auf der Abscisse von Bedeutung, nämlich die, 

 wo sich die Werte finden, welche von 25 % der Individuen nicht erreicht, bezw. vor. 

 25% der Individuen überschritten werden. Diese Werte werden die Quartilen Q t und 



Q 2 genannt, und die halbe Differenz dieser Quartilen - — - heisst Q. Wie M die 



Höhe der Kurve bestimmt, so bestimmt Q die allgemeine Form. Ist Q klein, so ist die 

 Form der Kurve steil, ist Q gross, dann ist sie flach. 



Schliesslich wird -^. der Variabilitätskoeffizient genannt. Dieser ist ein Mass der Varia- 

 bilität, welches von Verschaffelt für normale, symmetrische Kurven, wo Q 1 = Q 2 ist, 

 in die Biologie eingeführt wurde. 



Diese Konstanten sind für die meisten variationsstatistischen Untersuchungen meiner 

 Ansicht nach deshalb so besonders geeignet, weil sie leichtverständliche Begriffe dar- 

 stellen und mit verhältnismässig geringer Mühe und geringem Zeitaufwand erhalten 

 werden. 



Namentlich wird das Studium der Variationskurven erleichtert durch den Gebrauch 

 graphischer Hülfsmittel, wie die von dem holländischen Astronomen Kapteyn ausgedachten 

 und vom botanischen Laboratorium in Groningen dargestellten Variationsplatten. 



Kapteyn (60) hat, speziell mit Hinsicht auf die Bedürfnisse biologischer Unter- 

 suchungen, sich gelegentlich mit der Theorie der Variationsstatistik beschäftigt. Indem 

 ich seine mathematischen Ausführungen hier übergehe und Interessenten dafür auf das 

 Original verweise, möge die von ihm angegebene Methode hier kurz skizziert werden. 



Wie oben schon mitgeteilt wurde, sind die Kurven, mit denen man in der Variabilitäts- 

 statistik zu tun hat, in vielen Fällen mehr oder weniger symmetrisch und den Binomial- 

 kurven ähnlich. 



Im allgemeinen sind dies die Kurven, welche man erhält, wenn man die Potenz (p -f- q) n 

 entwickelt unter der Annahme dass p + q = 1 und n sehr gross ist. 



Quetelet und Pearson waren der Ansicht, dass eine asymmetrische Kurve entsteht, 

 wenn / und q ungleich gross sind: dies ist jedoch, wie Kapteyn gezeigt hat, nicht der 

 Fall; schon Laplace hat bewiesen, dass auch dann die Kurve normal ist, vorausgesetzt 

 dass n gross genug ist. 



Für diese Normalkurven gilt die Formel: 



A 

 Vit 



worin M = die Mediane, der Abstand vom O-Punkt der Abscissenaxe bis zum Fusspunkt 

 der Ordinate, welche die Kurve in zwei Hälften teilt (siehe oben), h = der Präzisions- 

 model = die Maximumordinate x Vit, e = Grundzahl der natürlichen Logarithmen = 2,71. 



y = - x e -/P(x-M)z 



