— 29 — FISCHRASSEN 



Die Kurve ist bekannt, wenn Mund h bekannt sind; M bestimmt die Symmetrieachse, 

 h die Form der Kurve, h ist also eine ähnliche Grösse wie Q (siehe oben), welche 

 letztere Grösse von den Mathematikern auch als „wahrscheinlicher Fehler" bezeichnet wird. 



Es besteht übrigens eine einfache Beziehung zwischen h und Q, indem Q = ! ist. 



Hat man nun die empirische Variationskurve, oder wie es auch genannt wird, das 

 Variationspolygon, so kann man mit Hülfe der obenerwähnten Variationsplatten die Zu- 

 gehörigkeit zu der übereinstimmenden theoretischen Kurve und eventuell durch graphische 



Interpolation M, Q und den Variabilitätskoeffizienten -~ bestimmen. 



Sind die Kurven nicht symmetrisch, sondern schief (asymmetrisch), so ist das Ver- 

 fahren nicht so einfach, sondern es müssen die Konstanten berechnet werden. Hierfür sei 

 indessen auf die Arbeit Kapteyn's verwiesen. 



Viel häufiger begegnet man jedoch in der Litteratur einer anderen Methode zur Be- 

 stimmung der Kurvenkonstanten, und zwar wird dabei das arithmetische Mittel anstatt der 

 Mediane als Ausgangspunkt genommen. Ich brauche kaum zu sagen, dass in völlig 

 symmetrischen Kurven diese Mediane = arithmetisches Mittel, ist, welches hier als M 1 

 bezeichnet werde 1 . In den meisten Fällen sind die empirischen Variationspolygone mehr 

 oder weniger asymmetrisch und M 1 von M verschieden. Da nun für die Beschreibung 

 der Fischrassen mit Hülfe der kombinierten Merkmale bis jetzt das arithmetische Mittel der 

 Merkmale als Grundlage gilt, so dürfen auch die davon abgeleiteten Kurvenkonstanten 

 hier nicht unerwähnt bleiben. 



Untersucht man die Grösse irgend eines Merkmals, z. B. die Wirbelzahl bei einer 

 gewissen Anzahl (n) Heringe, und nennt man die bei jedem Individuum gefundene Wirbel- 

 zahl V (= Variante, siehe oben) so ist offenbar das arithmetische Mittel M 1 = — - — - 



n 



d. h. die Summe sämtlicher Varianten dividiert durch die Zahl der untersuchten Individuen 2 . 

 In jedem Individuum weicht, wie wir früher sahen, die beobachtete Variante mehr 

 oder weniger in der einen oder anderen (positiven oder negativen) Richtung vom be- 

 rechneten Mittelwert ab. Nennt man jede einzelne Abweichung x, so ist, wenn man 

 diese Abweichungen quadriert, summiert und durch ihre Gesamtzahl (n) dividert 



2(x 2 ) 



n 



das, was die Mathematiker die „mittlere quadratische Abweichung" nennen und die Wurzel 



aus derselben 



/2'(* 2 ) 



V 



n 



die sogenannte Standard-abweichung, (standard deviation der englischen Autore), welche 

 neuerdings als „Streuung" angedeutet wird (c. f. Johannsen, 56, S. 41)3. 



1 Die Bedeutung des M ist etwas verschieden bei den verschiedenen Autoren, indem damit hier die Mediane, 

 dort das arithmetische Mittel, oder auch die „Mode" (Maximum der Frequenzen) gemeint wird. 



2 Die Formel wird auch häufig, aber vielleicht weniger korrekt in der Form — i_ J ' geschrieben, worin 



71 

 f die Frequenz jeder Klasse ( V) ist. 



3 Das schone Buch von Johannsen kam erst in meine Hände, als das vorliegende Manuskript druckfertig 

 war. Es enthält eine Fülle von wertvollen Ausführungen über unser Thema, welche indessen in dem zweiten 

 Teil dieses Berichts die ihnen gebührende Berücksichtigung finden werden. 



