N. F. I. Nr. 22 



Naturwissenschaftliche Wochenschrift. 



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1 durch I 



2 durch 10 



3 = 2 -f- I durch I o -f- • = " 



4 durch 100 



5 ^ 4 -)- I durcli 100 -j- I = loi 



6 = 4 -|- 2 „ 100 -[- 10 = I 10 



7 == 4 -f- 3 " '00 + I' = "I 



8 durch looo 



9 ^ 8 -I- I durch looi 

 10 = 8 4- - '■ loio 

 11=8-1-3 " 'O'' 



12 = 8 4- 4 .r 'loo 



13 = 12 -|- I '. noi 



14 = 12 -|- 2 „ II 10 



15 = 12 + 3 „ IUI 



16 durch loooo etc. 

 darstellen. 



Vorbemerkung 2. Zwei dyadische Zahlen c und 

 d, von denen c die grössere ist, können, von links ab ge- 

 rechnet, in mehreren Ziffern übereinstimmen; an der 

 ersten Stelle aber, wo sie nicht mehr übereinstimmen, hat 

 c eine i und d eine o. 



Vorbemerkung 3. Irgend eine Position im \'er- 

 laufe des Spiels ist .hinlänglich charakterisiert durch die 

 Anzahlen a, b, c der Stijcke in den 3 Haufen. Stellt 

 man diese 3 Zahlen dyadisch dar, so wollen wir die 

 Position eine „richtige" nennen, wenn die untereinander 

 geschriebenen 3 dyadischen Zahlen in jeder Vertikalreihe 2 

 oder o ergeben, anderenfalls eine „unrichtige". So ist 

 z. B. 3, 9, 10 eine „richtige" Position, denn 



9 = 100 I 

 10 ^= lOIO 

 2022 

 „Richtige" Positionen sind für die Zaiilcn \on i bis 

 15 inkl. folgende:*) 



I, 2, 3 2, 4, 6 3, 4, 7 4, 8, 12 



i, 4. 5 2, 5, 7 3, 5, 6 4, 9, 13 



I, 6, 7 2, 8, 10 3, 8, II 4, 10, 14 



I, 8, 9 2, 9, II 3, 9, 10 4, II, 15 



I, 10, II 2, 12, 14 3, 12, 15 



I, *i2, 13 2, 13, 15 3, 13, 14 



I, [4, '5 



5, 8, 13 6, 8, 14 7, 8. 15 



5. 9. I- 6, 9, 15 7, 9, 14 



5, 10, 15 6, 10, 12 7, 10, 13 



5, II, 14 6, II, 13 7, 1 1, 12. 



Nach diesen X^orbemerkungen ergeben sich folgende 

 Sätze : 



Siitj i: EuiL „richtige" Position kann durcli den 

 nächsten Zug nur in eine „unrichtige" übergeführt zverden. 

 Hinterlässt nämlich i\ dem B etwa die „richtige" 

 Position a, b, c, so muss B von einem der ILuifen eine 

 Anzahl von Stücken fortnehmen, d. h. die Position a, b, c 

 geht über in a, b, d etwa, wo jedenfalls d kleiner als c 

 ist. Dann wird nach Vorbemerkung 2 die erste Vertikal- 

 reihe von links, in der die dyadischen Zahlen c und d 

 nicht übereinstimmen, bei c eine i und bei d eine o auf- 

 weisen. War a, b, c „richtig", so musste ausser c noch 

 eine der dyadischen Zahlen a und b, etwa b, in der be- 

 treffenden Vertikalreihe eine i aufweisen und die andere 

 a dann eine O, damit die Summe in dieser Reihe = 2 



*) Für Mathematiker sei hier die Bemerkung gestattet, dass diese 

 Kombinationen natürlich ein Tripelsystem ausmachen. Für die Her- 

 stellung solcher Tripelsysteme, ein Problem, das von M. Reiss (Journ. 

 f. Math. 56, 1859) und E. H. Moore (Mathem. Ann. 43) allgemein ge- 

 löst ist, kann das obige Verfahren aber wohl nur in speziellen Fällen in 

 Betracht kommen. 



wird. In der Position a, b, il ergiebt diese X'ertikalreihe 

 also jetzt O -|- I + O = ■> f^l- h- die Position ist jedenfalls 

 „unrichtig", q. e. d. 



Satz 2 : Eine „unrichtige" Position Icisst sich stets in 

 eine „richtige" iiberfiihren. 



Ist die Position a, b, c „unrichtig", so muss es jeden- 

 falls in den untereinanderstehenden dyadischen Zahlen a, 

 b, c mindestens eine Vertikaircihe mit der Summe l oder 

 3 geben. Giebt es deren mehrere, so betrachten wir von 

 ihnen die erste von links ab ; hier muss eine der 3 Zahlen, 

 etwa c, sicher eine i aufweisen, während a und b hier 

 beide i oder beide o haben. Ersetzen wir nun c durch 

 eine Zahl d, welche in dieser Vertikalreihe eine o statt 



1 hat, links davon aber mit c übereinstimmt, so ist zu- 

 nächst jedenfalls (Vorbemerkung 2) d kleiner als c, und 

 die übrigen noch unbestimmten Zifilern von d rechts von 

 jener Vertikalen lassen sich offenbar sehr leicht so wählen, 

 dass a, b, d eine „richtige" Position wird, q. e. d. 



Hiernach ergiebt sich folgender Verlauf des Spieles: 



1. Ist die anfängliche Position „unrichtig", was in den 

 weitaus meisten Fällen zutreffen wird, da die unrichtigen 

 Positionen offenbar sehr viel zahlreicher als die richtigen 

 sind,*) so kann A die Anfangsposition in eine richtige 

 überführen (Satz 2), B muss dann dem A wieder eine un- 

 richtige Position überlassen (Satz i), A stellt hierauf 

 wieder eine richtige her u. s. w., bis schliesslich ein 

 Haufen verschwindet. 



a) Nimmt A den Rest dieses Haufens, so müssen die 

 beiden anderen Haufen gleich gross sein, da sonst die 

 Position, die A hinterlässt, nicht „richtig" wäre (sind die 

 Ziffern von a alle = o, so müssen für eine „richtige" Position 

 die Ziffern von b mit denen von c übereinstimmen). B 

 nimmt nun einige Stücke von einem der beiden gleichen 

 Haufen, und thut A stets dasselbe bei dem anderen Haufen, 

 so muss er hierdurch stets das letzte Stück erhalten. 



b) Bringt B den ersten Haufen zum Verschwinden, 

 so können, da B stets „unrichtige" Positionen hinterlässt, 

 die beiden restierenden Haufen nicht gleich gross sein, 

 wohl aber kann A beim nächsten Zuge sie gleich machen, 

 worauf sich dasselbe wiederholt wie im Fall a). 



2. In den verhältnismässig seltenen Fällen dagegen, in 

 denen die anfängliche Position richtig ist , kann A dem 

 B nur eine unrichtige Position überlassen (Satz i) und 

 letzterer jetzt eine richtige herstellen , worauf B bei 

 richtigem Spiel siegen muss. 



Hiermit ist bewiesen, dass der Anziehende im allge- 

 meinen den Sieg erzwingen kann. Dies gilt auch für die 

 bereits oben **j erwähnte und verbreitetere Spielart, wonach 

 derjenige, der den letzten Stein nehmen muss, verliert. 

 Unter einer „richtigen" Position verstehen wir hierbei 

 wieder dasselbe wie zuvor, nur mit dem Unterschiede, 

 dass die Position 1,1,0 jetzt als „unrichtig" und dafür 

 i, I, I und I, o, o als „richtig" angesehen werden sollen. 

 Feindet der Anziehende A zu Anfang eine „unrichtige" 

 Position \'or, so besteht die Taktik, die ihn sicher zum 

 Siege führt, wieder darin, die „unrichtigen" Positionen 

 immer in „richtige" (in dem jetzt definierten Sinne) über- 

 zuführen. Zum Beweise dieser Behauptung haben wir in 

 Ergänzung der Ausführungen für den ersten Fall offenbar 

 folgendes noch nachzuweisen : 



I. B. kann — natürlich unter der obigen Annahme 

 einer „unrichtigen" Anfangsstellung — niemals die jetzt 



*) dhne dass wir auf die leicht auszuführende Berechnung dieser 

 Anzahlen pini:;('h.-n, ■j.-i hier nur beispielsweise bemerkt, dass wenn für 



2 der Il.iurrn dir Stückzahlen etwa 6 und II sind, die Zahl im dritten 

 Haufen i 5 >. in mu,,. wenn die Position „richtig" sein soll (s. die Ta- 

 belle in Vorbdu. \\\ im allgemeinen aber, nämlich für jede andere 

 Stückzahl als 13 im dritten Haufen, ist eine Position mit 6 und II „un- 

 richtig". 



**J In der ersten Anm. des Artikels. 



