118 MÉMOIRE 
et d'exprimer tout en coordonnées polaires en y faisant 
ydy+ zd2=rdr, dy =drcosa —rsinmada,dz=drsna-+rcosada, 
du du dr du da du du sin« 
D A en de A DO À Lieienes 
du du dr du da dut du cos « 
FRERE PAL PE Een At AT 0 fo 
ce qui la change, toutes réductions faites, en 
du da 
(199) Ordr—rda+dr——o, 
du du ah, 
ou, en mettant pour —, — leurs valeurs tirées de a— E( ), 
re ua 
0 rdr — E la, d(r'snna) — a, d(r" cosn'a)|—0. 
L’équation s'intègre d'elle-même; et on a, pour les courbes-con- 
tour des bases des prismes dont la torsion produit des déplace- 
ments longitudinaux u représentés par : 
_u= a +arcosa+a,rsinæ+ a, r°Ccos2@—+- a, r° sin 2 æ 
(200) | + a, r° cos 3 a + a/, r° sin 34—+... 
ou plus généralement u —E (a, r" cosna+ a, r" sin n'&), 
l'e . . 
équation polaire 
k ane : ’ . ñ 
0——arsna+a,rcosæ —a,r°sin 2 4+a,r° cos 2æ 
— a, sin 3a+a/,r° cos 34 — .. —constante 
201 
ou, plus généralement, 
ÿ=+E (— a, r'smna+ a, r" cos n'&)— constante. 
\ 
Les équations développées, telles que les équations algébriques 
(197) et (198), ne sont que des cas particuliers de celles expri- 
mées par des Z. On les obtient en supposant », n' entiers et po- 
sitifs, puis en mettant pour les sinus et cosinus multiples leurs 
y uk z 
valeurs en cosæ — =, sina — -. 
r r 
