SUR LA TORSION DES PRISMES, ETC. 477 
aucune dilatation ou contraction des prismes longitudinalement 
et perpendiculairement, et, aussi, sans flexion, comme sans glis- 
sement étranger. | 
L'analyse nous à montré qu'il suffisait, pour cela, qu'il n'y eût 
ni pression normale ou tangentielle sur les faces latérales, ni 
traction longitudinale sur les bases extrèmes, et que, sur les points 
de ces bases, il ne s’exerçât que des actions transversales, distri- 
buées comme celles p,,, p.. dont nous avons donné les valeurs 
diverses depuis le chapitre v !. ; 
! Les arêtes et les fibres qui, de droites et parallèles qu'elles étaient, deviennent 
inclinées et hélicoïdales, éprouvent, il est vrai, un allongement par cela seul, Mais 
si la torsion ÿ, multipliée par la distance à l'axe de l'arête qui en est le plus éloignée, 
donne un produit très-petit, comme on le suppose toujours, cet allongement est {rès- 
petit du second ordre, en sorte qu’en ne conservant, comme on fait constamment dans 
la théorie des corpsélastiques, que les quantités du premier ordre, on peut toujours 
dire que les fibres ou arêtes n’ont pas éprouvé de dilatation si l'axe n'a pas été lui- 
même dilaté. 
Voici comment on peut, au reste, calculer à peu près l'influence du second ordre 
que peut avoir, sur la résistance à une torsion 6, cet allongement inégal des fibres, 
cause de phénomènes qui ont été l’objet d'une partie des expériences de M. Wer- 
theim, dont une analyse a paru le 19 février 1855 aux Comptes rendus de l'Aca- 
démie, t. XL, p. 411. 
Considérons un cylindre circulaire dontle rayon est R, et l'une de ses fibres àune 
distance r de l'axe de torsion. Tous les éléments de cette fibre auront pris, sur l'axe, 
lorsqu'elle se sera courbée en hélice, une inclinaison Or, en sorte que la partie com- 
prise entre deux sections du cylindre à l'unité de distance l’une de l’autre, aura en- 
suite une longueur V 1 + 67° si ces sections n'ont pas changé de distance, et une 
longueur (1 — 7) V1 +6r* si elles se sont rapprochées d'une quantité très-pe- 
tite 7. Or, cette longueur, en négligeant les petites quantités d'ordre supérieur, 
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revient à 1 — 7 +—. Donc on a, à la distance r de l'axe, la valeur suivante pour 
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la dilatation de la fibre 
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et, par conséquent, un effort de traction E do | — —») si dw est la section et E 
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le coefficient d'élasticité d’allongement (art. 30) ‘de la fibre supposée isolée. Le 
rapprochement y, si les bases peuvent l’éprouver librement, doit se déterminer par la 
condition que toutes ces forces se fassent équilibre dans le sens longitudinal, ou que 
