SUR LA TORSION DES PRISMES, ETC. 487 
193. Établissement simple et direct-de ces formules. — Avant de 
donner leur application et la manière de les rendre usuelles, mon- 
trons comment on peut les établir directement et simplement. 
Soit mn la coupe, par le plan du glissement principal x (art. 7), 
d'une portion extrèmement petite de la section w 
7e du PP plan perpendiculaire aux x, sup- 
L posé ramené, ainsi que le point n, à coincider avec 
leurs situations primitives. La ligne matérielle 
d’une très-petite longueur nr — x dirigée. primiti- 
a —<t- vement dans le sens x, et devenue »r,, se sera allon- 
gée de rs —rt=—x d,, et inclinée (art. 5) d’un 
petit angle rnr, — Yz. Si la dilatation, dans le sens transversal 
mn, est représentée par —ed,, mn s’est raccourci de mm; — 
ed,. mn; et une ligne oblique, telle que mr, est devenue mr. 
MT — 
Calculons la dilatation d= 227 qu'aura éprouvée cette 
nr 
petite ligne mr dont nous appelons à l'angle mrn fait avec les x. 
En pro) etant 
mm —= mn. ed, — x (ange. ed, sur la ligne mr, on a x tang a. ed, sine 
sur tdem......... x d, cos æ 
RESTES T opt EU EVE 20 sur idem....,.... xg,Sin a. 
Donc mr, —mr + x (à, cosæ + z sin 4 — € à, sin & tang œ). 
x 
Retranchant la longueur primitive mr et divisant par mr —— , 
cos a 
l'on trouve pour la dilatation cherchée 
d, —= d, cost — € d, sin°&æ + x siInœ COS, 
qui n’est autre chose que l'expression (5) de l'art. 6, ou (39) de 
l'art. 24, particularisée pour cosy — 0,d,——- ed, et Ya © 
d’où Fa LE Yz- 
En l'écrivant : 
1—e i+e Le 
oa ren ——d, cos 2 + © sin 20 
