676 ESSAI D'UNE RESTITUTION 
D'un côté, 1l sera indispensable de faire ressortir surtout la rai- 
son déterminante du nombre des genres d’irrationnelles exposés. 
D'un autre côté, lorsque Euclide détermine des couples de lignes 
qui doivent servir ensuite à la construction des irrationnelles, et 
qui jouissent de diverses propriétés, il faudra montrer comment 
quelques-unes de ces propriétés découlent naturellement des au- 
tres, tandis qu'Euclide se contente d’en démontrer la coexistence. 
Car, généralement, deux quantités (ct les lignes ne représentent 
ici que des quantités) sont déterminées par deux conditions aux- 
quelles elles doivent satisfaire. Si donc elles satisfont à plus de 
deux conditions, l'esprit éprouve le besoin de distinguer les pro- 
priétés essentielles d'avec les autres, et de se rendre compte de la 
manière dont celles-ci se rattachent aux premières. 
C'est pourquoi j'ai tâché de suivre une marche plus analytique 
dans l'exposé que l'on trouve ci-après. Je me suis efforcé en même 
temps d'y reproduire, dans le plus court espace possible, le contenu 
essentiel du dixième livre d'Euclide. D'ailleurs, je fais observer 
que je ne me propose pas tant de donner une analyse détaillée 
de ce livre, que de faire connaitre quels genres et quelles espèces 
d'irrationnelles ont été traitées par Euclide, et quelles sont les 
propriétés qu'il en a connues. 
Avant d'entrer en matière, il faut que j'explique encore en 
quelques mots l'usage qu'Euclide fait du mot rationnel, parce qu'il 
donne à ce terme une signification plus large que nous ne faisons 
aujourd'hui. C’est qu'il appelle rationnelles aussi les lignes dont les 
carrés seulement sont rationnels, et qui s'expriment, en consé- 
quence, par des racines carrées. La ligne rationnelle d'Euclide a 
donc les deux formes met /m. Au contraire, comme selon les idées 
des anciens on ne saurait former le carré d’un espace, la surface ra- 
tionnelle est chez Euclide uniquement de la forme m, tandis que 
Vm, comme expression d’un espace, désigne l’espace médial, qui 
est un espace irrationnel. Je me conformerai, dans ce qui suit, à 
la terminologie d'Euclide, pour ne pas trop embrouiller les énon- 
cés des définitions que je dois donner d'après lui. Toutes les fois 
