DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 685 
des irrationnelles est une irrationnelle du même genre et de la 
même espèce que la ligne à laquelle elle est commensurable, et 
que les lignes irrationnelles proposées dans ce qui précède sont 
toutes essentiellement différentes entre elles. 
Suivent encore : une autre méthode de construction de ces ir- 
rationnelles; puis quelques théorèmes énonçant diverses consé- 
quences de la vérité mathématique que le produit de (V a +-\/b) 
en (Va —\/b) est rationnel; enfin, la démonstration que la diago- 
nale et le côté d’un carré sont incommensurables en longueur. 
L’avant-dernière proposition du dixième livre mérite encore 
‘être particulièrement remarquée; en voici l'énoncé : 
« Il résulte d’une médiale une infinité d'irrationnelles, dont au- 
cune n’est la même qu'aucune de celles qui la précèdent. » 
Euclide prend ici la moyenne proportionnelle y entre une mé- 
diale et une rationnelle, puis la moyenne à entre y et la même 
rationnelle, et ainsi de suite. Les irrationnelles qu'il obtient 
sont. donc successivement de la forme VrVm, VENTES 
_— , 5 - 8,— 16/— 32, — 
VrVr Vi, etc. c’est-à-dire de la forme VA, V 4 Vg; etc. 
TEXTE DES PASSAGES DU MANUSCRIT ARABE RELATIFS AUX TRAVAUX PERDUS 
D'APOLLONIUS SUR LES QUANTITÉS IRRATIONNELLES. 
S9. 
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