692 ESSAI D'UNE RESTITUTION 
pèces très-connues des lignes irrationnelles d’après les différentes 
médiétées, assignant la médiale à la géométrie, la droite de deux 
noms à l’arithmétique, et l'apotome à l’harmonie!, comme cela 
est rapporté et raconté par Eudème le Péripatéticien?. 
« Quant à Euclide, il se proposa de donner des règles rigou- 
reuses qu'il établit relativement à la commensurabilité et à l'in- 
commensurabilité en général; il précisa les définitions et les dis- 
tinctions des quantités rationnelles et irrationnelles, il exposa un 
que les lignes, les longueurs qui peuvent ces surfaces ») sont commensurables ou 
incommensurables. — Comparer Théétète, p. 147, D et suiv. 
! Dans le second livre de son commentaire (fol. 36, recto et suiv. du ms. arabe), 
l'auteur donne à cette découverte de Théétète des développements ultérieurs, el dé- 
montre que toutes les irrationnelles formées par addition peuvent être construites 
au moyen de la proportion arithmétique, et toutes les irrationnelles formées par 
soustraction au moyen de la proportion harmonique. 
Quant à la médiale, on a vu ci-dessus ($ 5) qu'elle est la moyenne géométrique 
entre deux lignes rationnelles commensurables en puissance seulement. 
Quant aux irralionnelles formées par addition, on sait que, si : est la moyenne 
T+y . 
. En donnant donc à x et y successive- 
arithmétique entre æ et y, on ai — 
ment les valeurs développées ci-dessus ($$ 5 à 7), on obtient les irrationnelles for- 
mées par addition. 
Quant aux irrationnelles formées par soustraction, on sait que, si 1 est la moyenne 
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harmonique entre æ el y, on a 1 — rs En donnant à x et y les valeurs ci-dessus, 
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on aura au numérateur un espace ralionnel ou médial, el au dénominateur succes- 
sivement les différentes irrationnelles formées par addition. Or l’auteur démontre, 
dans le second livre de son commentaire, un très-beau théorème, qui est la géné- 
ralisation des propositions 113 à 119 du dixième livre d'Euclide, à savoir que, siun 
espace rationnel ou médial est compris sous deux droites, dont l'une est une des 
irrationnelles formées par addition, l’autre droite sera l'irrationnelle correspondante 
formée par soustraction (voir ci-dessous, $ 20, n° 11 et 12). I en résulte que 
2x 
notre ligne 1 — 
T+Yy 
représentera successivement les irrationnelles formées par 
soustraction, lorsqu'on donne successivement à x et y les valeurs ci-dessus déve- 
loppées. à 
? Voir Proclus, Commentaire du premier livre des Eléments d'Euclide, édition de 
Bâle, 1533, p. 35,1. 7; p. 92, 1.11; p. 99, 1. 28. — Le Commentaire d'Eutocius, 
p. 204 de l'édition d'Oxford des OEuvres d’Archimède. — Fabricii Bibliotheca Græca, 
4° édition, Hambourg, 1793, vol. IN, p. 464 et 492. 
