694 ESSAI D’UNE RESTITUTION 
commensurable en puissance à la ligne entière. Car nous construi- 
sons la ligne médiale en prenant un côté rationnel et une diago- 
nale proposée !, et en trouvant la moyenne proportionnelle entre 
ces deux lignes; nous construisons la droite de deux noms en 
ajoutant le côté à la diagonale, et nous construisons l'apotome en 
retranchant le côté de la diagonale. 
« Il faut aussi qu'on sache que , non-seulement lorsqu'on joint en- 
semble deux lignes rationnelles et commensurables en puissance, 
on obtient la droite de deux noms, mais que trois ou quatre 
lignes produisent d’une manière analogue la même chose. Dans le 
premier cas, on obtient la droite de trois noms, puisque la ligne 
entière est irrationnelle; et, dans le second cas, on obtient la 
droite de quatre noms, et ainsi de suite jusqu’à l'infini. La dé- 
monstration [de l'irrationnalité] de la ligne composée de trois lignes 
rationnelles et commensurables en puissance est exactement la 
même que la démonstration relative à la combinaison de deux 
lignes ?. 
« Mais il faut recommencer encore et dire que nous pouvons, 
non-seulement prendre une seule ligne moyenne entre deux lignes 
commensurables en puissance, mais que nous pouvons en prendre 
trois ou quatre, et ainsi de suite Jusqu'à l'infini, puisque nous 
? C'est-à-dire, en construisant un carré sur une diagonale qui est la ligne pro- 
posée comme rationnelle (voir Euclide, Éléments, X, déf. 5), carré dont le côté 
sera ralionnel, mais commensurable en puissance seulement avec la diagonaie (voir 
ibid. prop. 117). De cette façon, on obtient deux droites rationnelles commensu- 
rables en puissance seulement, c’est-à-dire les deux éléments nécessaires à la cons- 
truclion de la médiale, de la droite de deux noms, et de l'apotome (voir ci-dessus, 
$ 5). 
Je fais observer que le mot arabe qui a été traduit par diagonale, signifie aussi 
diamètre. Or, soit AB la droite proposée comme rationnelle, et prenons sur AB 
la partie AC rationnelle et commensurable en puissance seulement à AB. Si on 
décrit sur AB comme diamètre un demi-cercle, et si l'on élève au point C une per- 
pendiculaire à AB qui coupe le demi-cercle en D, AD—\AB AC sera la médiale, 
AB+4 AC la droite de deux noms, et BC—AB— AC l'apotome. Ce serait là une 
autre manière d'interpréter les expressions un peu vagues du texte. 
? Voir Euclide, Éléments, X, proposition 37, et ci-dessous, p. 698 et 690. 
