DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 695 
pouvons prendre entre deux lignes droites données quelconques 
autant de lignes que nous voulons, en proportion continue”. 
« Et?, de même, dans les lignes formées par addition, nous pou- 
vons, non-seulement construire la droite de deux noms, mais nous 
pouvons aussi construire celle de trois noms*, ainsi que la première“ 
! Si, entre deux lignes données, ket k', on prend m moyennes proportionnelles , 
de sorte que: 
AM AE 0e ee elle 
on trouve facilement qu'on a 
1° l —Î hs 
n n+il 
el 
m—n m—n+l 
2% l k — 5 
LL n+l 
puis, en éliminant 1, ,, entre ces deux équations, on trouve 
m+] m+l—n n 
DR .k 
ou 
m+ 1 
LEE. 
Lorsque k et k’ sont deux lignes rationnelles commensurables en puissance seu- 
a (m+i) 
lement, L, sera de la forme 4/a#".b" . — Relativement à la manière dont les an- 
ciens trouvaient un nombre donné de moyennes proportionnelles entre deux droites 
données, voyez Archimède, édition d'Oxford, p. 144 et suiv. 
? Comme le passage qui commence ici doit servir de base à une partie des con- 
jectures que j'aurai à faire par la suile sur la nature des quantités irrationnelles 
traitées par Apollonius, et que, par conséquent, il m'importe de le faire connaître 
au lecteur aussi exactement que possible, j'en fais suivre ici une traduction latine 
littérale : 
« Ac similiter in is quæ fiunt per compositionem, non solum licel nobis efficere 
«lineam ex binis tantum nominibus, sed etiam licet nobis efficere eam quæ est ex 
«ternis nominibus, et eam quæ est ex ternis mediüis, primam et secundam, et eam 
«quæ est ex ternis lineis reclis incommensurabilibus potentia, quarum una efcit 
«cum unaquaque duarum (reliquarum) summam quadrati productam ex ambabus 
s“rationalem et rectangulum quod fit ex ambabus medium, ita ut evadat major 
«composita ex ternis lineis. Et simili ratione evadit linea quæ potest ralionale ac 
«medium (composita) ex ternis lineis, et eodem modo ea quæ potest bina media. : 
* Voir ci-dessous, p. 698 et 699. 
* Voir ci-dessous, p. 699 et 700. 
