698 ESSAI D'UNE RESTITUTION 
rationnelle et une médiale, composée de trois droites !, et de même 
celle qui peut deux médiales?. 
«Car, supposons trois lignes rationnelles commensurables en 
puissance seulement. La ligne composée de deux de ces lignes, à 
savoir la droite de deux noms, est irrationnelle, et, en consé- 
quence, l'espace compris sous cette ligne et sous la ligne restante 
est irrationnel, et, de même, le double de l'espace compris sous 
ces deux lignes sera irrationnel. Donc, le carré de la ligne entière, 
Si l’on déduit les expressions pour x, y, z des lrois conditions 
+y—a zy —\/b æz —\/c, 
on aura 
+ \/a— RE Le à b RATE NE 
M RS a? 4b 2 C 
RÉ Va 6 Ver 
et (ait-p te) ee ae A be+c: 
Cette combinaison produit une ligne composée x + y + z dont le carré ne con- 
tient plus des racines de racines, tandis que les combinaisons précédentes ont 
l'inconvénient de conduire à des lignes dont le carré contient encore des racines d’ex- 
pressions irrationnelles. C’est pourquoi je ne suis pas éloigné de croire que la com- 
binaison x° + y — a, xy vb , æZ c est réellement celle qui avait élé adoptée 
par Apollonius, dans sa généralisation des théories d'Euclide. Il est vrai que notre 
texte s'oppose à cette supposition, parce qu'il parle expressément de «la somme 
des carrés de l’une de ces lignes avec chacune des deux autres; » mais, dans ce qui 
suit, j'aurai l'occasion de faire remarquer que l'auteur ne paraît pas avoir toujours 
mis un très-grand soin à reproduire avec une exactitude rigoureuse les énoncés des 
généralisations dont il donne ici une indication rapide. (Voir la deuxième note de 
la page 699 et $ 17.) 
1 a +y— Va a+ 2 —\/b TY—=C 
MEN Es, AE Me 
à + y —\V/a mp2 |/b er ONE 
