DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 699 
composée de trois lignes, est irrationnel, et, conséquemment, la 
ligne est irrationnelle, et on l'appelle droite de trois noms”. 
« Et, si l'on a quatre lignes commensurables en puissance, comme 
nous l'avons dit, le procédé sera exactement le même; et on trai- 
tera les lignes suivantes d’une manière analogue. 
« Qu'on ait ensuite trois lignes médiales commensurables en 
puissance, et dont l'une comprenne avec chacune des deux autres 
un rectangle rationnel?; alors la droite composée des deux lignes 
est irrationnelle et s'appelle la première de deux médiales; la ligne 
restante est médiale, et l'espace compris sous ces deux lignes est 
ÿ (Va+ Vi +ve)— (Va + Vr)+ 2 a+ Vive + ce, où l'une des trois 
quantités a, b, c peut être un carré. — Cette démonstration n’est pas tout à fait ri- 
goureuse. Quant au terme 2 | Va+ (VE Ve; il est égal à la somme des deux espaces 
médiaux 4/4 ac +4\/4 be, et, par une démonstration analogue à celle de la 27° pro- 
position du X° livre d'Euclide, on prouvera que la somme de deux espaces mé- 
diaux est irrationnelle. D'un autre côté, on a démontré (X, 37) que le carré 
(V/a + 1/6) est irrationnel. Mais il n'est pas généralement vrai que la somme de 
deux espaces irrationnels soit irrationnelle. H reste donc à démontrer que la somme 
formée des deux espaces irrationnels (Va +18)? et 2| a+ 18e et de l’es- 
pace ralionnel c, est irrationnelle. 
? Ces deux conditions sont incompatibles; car, supposons trois lignes, æ, y, z, 
dont l'une, x, comprenne ayec chacune des deux autres un rectangle rationnel; 
On aura Zy—m, 2Z—N; donc y:z—m:n; c'est-à-dire, y et z ne seront plus 
commensurables en puissance seulement, mais aussi en longueur. H faut donc recti- 
fier l'énoncé du texte de la manière suivante : «Qu'on ait trois lignes médiales, 
dont l’une soit commensurable avec les deux autres en puissance seulement, et 
dont la même comprenne avec chacune des deux autres un rectangle rationnel, etc. » 
On aura alors : 
z:y=Va ziz=x:(p)=— 
P 
She za. (py) = pb 
donc 
N63 b 
z— b Va » == z—p ne 
Ve ve 
et 
(NES ms ds pic Dm 2e pi À list à CDs à nn 
Des trois termes de celte dernière somme, le premier est irrationnel (X, 38): 
le second se compose de l’espace 2 x z qui est rationnel, et de l'espace 2 y z qui 
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