DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 703 
Comme d’un côté les noms donnés par Euclide aux différentes 
espèces d’irrationnelles sont en partie d’une longueur gênante, et 
que, d’un autre côté, les remarques que j'aurai à faire porteront 
toujours à la fois sur l’espèce formée par addition et sur l'espèce 
correspondante formée par soustraction, je désignerai, dans la 
suite, les irrationnelles construites dans les propositions 37 et 74, 
38 et 75, 39 et 76, 4o et 77, 41 et 78,42 et 79 du X° livre, 
respectivement comme la 1", 2°, 3°, 4°, 5°, 6° irrationnelle d'Eu- 
clide. 
Pour toutes ces lignes, le but constant des démonstrations 
d'Euclide est de prouver que chacune d’elles peut un espace qui 
n’est ni rationnel, ni médial. Or l'espace que peut la ligne x + y, 
c'est l'expression 
DEN oi S+o2R, 
si nous désignons par S la somme des carrés des deux éléments 
de la ligne, et par R le rectangle compris sous eux; 
‘ done 
een dv QUES à Le 
Euclide ne définit d’une manière positive que deux genres d’es- 
paces, l’espace rationnel et l’espace médial. Ces deux genres d’es- 
paces donnent lieu à quatre combinaisons pour la nature de la 
somme $ + 2 R : 
1° S rationnel et R rationnel ; 
2° S rationnel et R médial; 
3° S médial et R rationnel; 
4° -S médial et R médaal. 
La première combinaison doit être rejetée, parce qu’elle ren- 
drait la somme $ + 2 R rationnelle; et la quatrième doit être as- 
sujettie à la condition que S et R soient mcommensurables, parce 
que sans cela la somme S + 2 R serait médiale. 
On exclut les cas madmissibles par une seule condition géné- 
rale, en demandant que Set À soient incommensurables entre eux. 
