DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 705 
Aussi nous avions remarqué ci-dessus ($ 6) que la commensu- 
rabilité en puissance des éléments x et y est cette exception à leur 
incommensurabilité, qui a lieu dans le cas particulier où l'expres- 
sion Q— 4 (Q* est le carré d’une quantité rationnelle. Or, Q n’é- 
à a m 
, de — — -—, il suit effec- 
n 
2 
D + 
tant autre chose que le quotient 
üivement Qi— 4 Q° — (° —)" 
mn 
Nous n’avons donc qu’à faire (a? + y*) : æy —(m-+ n) : \/mn, 
q J 
pour dériver des trois dernières irrationnelles d'Euclide les trois 
remières suivant l’ordre. 
P 
Pour cela, nous posons, 
1° DM EU b — mn; 
ces valeurs, substituées dans l'expression de la 4° irrationnelle, 
donnent > 
DE }=Vn Se VLE 
ce qui est la 1° irrationnelle d'Euclide. 
où a—(m+n) mr  b— mn; 
ces valeurs, substituées dans l'expression de la 5° irrationnelle, 
donnent 
æEy—= \/m\/mn + Va Ven; 
ce qui est la 2° irrationnelle d'Euclide. 
mie 
de am + n b — 
. 
1 
m+n 
ces valeurs, substituées dans l'expression de la 6° irrationnelle, 
donnent 
De — 1) HER =. E : 
Vm+n mn 
ce qui est la 3° irrationnelle d'Euclide, 
SAVANTS ÉTRANGERS. — XIV. 89 
