714 ESSAI D'UNE RESTITUTION 
en fait de résolutions d'équations supérieures se borne, d’après 
nos connaissances actuelles, à la construction géométrique de 
quelques cas particuliers d'équations du troisième et du quatrième 
degré, il n’y a pas lieu de croire que la construction d'irrationnelles 
polynômes de degrés supérieurs ait été tentée par Apollonius. 
Mais les anciens possédaient des procédés pour trouver méca- 
niquement la racine de équation binôme d’un degré quelconque, 
ou, ce qui revient au même, pour trouver un nombre donné de 
moyennes proportionnelles entre deux droites données; et il re- 
sulte de ce que rapporte notre auteur, qu'ils n’ont pas manqué 
d'en profiter pour considérer des irrationnelles de degrés supé- 
rieurs. 
Nous avons vu ci-dessus (p. 695) que ces irrationnelles étaient 
de la forme 
Or, comme on peut varier à l'infini les valeurs des deux nombres 
entiers pr et», et comme pour les deux éléments À et B on peut 
prendre, soit deux rationnelles, soit une rationnelle et une des 
innombrables irrationnelles, considérées sous leur forme générale 
dans les paragraphes précédents, soit deux quelconques de ces 
irrationnelles, soit enfin les irrationnelles qui résultent de ces 
substitutions mêmes, on voit que notre auteur est parfaitement en 
droit de dire que le nombre des irrationnelles qu'on peut cons- 
truire d’après les indications précédemment données pan lui, est 
«infiniment de fois infini. » 
ANALYSE DU COMMENTAIRE DE VALENS SUR LE DIXIÈME LIVRE 
DES ÉLÉMENTS D'EUCLIDE. 
PREMIER LIVRE, 
$ 19. 
Esquisse historique du développement successif de la théorie 
