DE TRAVAUX PERDUS D'APOLLONIUS. 717 
n'aura plus lieu !. Démonstration de ce théorème. — 
Fol. 33 v° à 34 r°. 
6. Des irrationnelles formées par soustraction. Leur affinité avec 
les irrationnelles formées par addition. — Fol. 34 r°. 
7. Comme les irrationnelles formées par addition tiennent leurs 
noms de la composition des espaces qu’elles peuvent, de 
mème, les irrationnelles formées par soustraction tiennent 
les leurs de la division (soustraction) des mêmes espaces ?. 
Examen des six cas analogues à ceux du n° 3. Génération 
des irrationnelles formées par soustraction au moyen de 
deux espaces donnés. — Fol. 34 r° à 35 r°. 
8. Génération des irrationnelles formées par addition ou par 
soustraction, au moyen d'un espace rationnel et d’un es- 
pace médial, ou de deux espaces médiaux qu'on combine 
par addition ou par soustraction, et dont le plus petit * est 
compris sous deux lignes, soit commensurables, soit in- 
commensurables en puissance, et qui, ensemble, peuvent 
le plus grand“. Cela donne lieu à douze cas, correspondant 
aux douze irrationnelles. — Fol. 35 r° à 36 r°. 
! Posons DE TR: æ'+y—5s  ;on aura 
5hz: s 
ZT —= — 
LE à Ÿ r?+ à 
Lorsque x et y sont commensurables en puissance, r° est rationnel dans l'accep- 
tion moderne de ce terme, et, comme la ligne qui peut un espace rationnel ou 
médial est elle-même rationnelle ou médiale, æ et y seront, en même temps que 
s, rationnels ou médiaux. Lorsque, au contraire, x et y sont incommensurables en 
puissance, 7° sera irrationnel, et, par conséquent, x et y seront des lignes irra- 
tionnelles. 
* Si le carré d’une irrationnelle formée par addition s'exprime par S+2R, 
celui. de l'irrationnelle correspondante formée par soustraction s'exprime par 
S—28. 
? 2 R; car on a toujours Ce AC 
* Telles,sont les expressions employées à plusieurs reprises dans le texte; pour 
parler plus exactement, il faut dire que la somme des carrés des deux droites qui 
comprennent la moitié de l'espace mineur est égale à l'espace majeur. 
